sviluppo

Dire se il seguenti insieme in ℜ e' limitato giustificando l'affermazione e trovarne, se esiste, l'estremo superiore e l'estremo inferiore indicando anche quando tali estremi possono essere considerati massimo o minimo di tale aggregato

    I = { x ∈ ℜ / x(k) = 1

1 - 2-k 		, ∀ k∈N }


    Devo trovare i punti che obbediscono alla relazione x(k) = 1

1 - 2-k 		per ogni k∈N


per trovarli sostituisco a k i valori della successione dei numeri naturali N e trovo i punti corrispondenti

Per k = 1     → x(1) = 1

1 - 2-k 		= 1

1 - 2-1 		= 1

1 - 1/2 		= 1

1/2 		1·2 = 2
Per k = 2     → x(2) = 1

1 - 2-k 		= 1

1 - 2-2 		= 1

1 - 1/4 		= 1

3/4 		= 1· 4

3 		= 4

3
Per k = 3     → x(3) = 1

1 - 2-k 		= 1

1 - 2-3 		= 1

1 - 1/8 		= 1

7/8 		= 1· 8

7 		= 8

7
Per k = 4     → x(4) = 1

1 - 2-k 		= 1

1 - 2-4 		= 1

1 - 1/16 		= 1

15/16 		= 1· 16

15 		= 16

15
.....................................

ottengo
2 4

3 		8

7 		16

15 		32

31 		64

63 		.... 2k

2k -1 		....
Si tratta di una successione decrescente in ℜ che si avvicina sempre piu' al punto 1 , abbiamo quindi un insieme non continuo
non e' continuo perche' se ad esempio prendo i punti 4/3 e 8/7 tra loro non esiste nessun elemento della successione


E' limitato : infatti se considero ad esempio 0 esso e' un minorante per I e se considero ad esempio 4 esso e' un maggiorante
L'insieme si dice limitato inferiormente se esiste un numero reale a (minorante) tale che a e' minore od uguale ad ogni elemento di I
L'insieme si dice limitato superiormente se esiste un numero reale b (maggiorante) tale che b e' maggiore od uguale ad ogni elemento di I
L'insieme si dice limitato se e' limitato sia inferiormente che superiormente


e' comunque un insieme bene ordinato che ha come estremo inferiore il punto 1 e come estremo superiore il punto 2
E' un insieme bene ordinato rispetto alla relazione maggiore (o minore), infatti presi due numeri posso sempre dire se uno e' maggiore dell'altro e la relazione e' simmetrica e transitiva
un insieme limitato e bene ordinato ammette sempre estremo superiore ed inferiore


L'estremo inferiore 1 non appartiene all'insieme (non riusciremo mai ad arrivarci per nessun valore di k∈N quindi questo insieme non ha minimo l'estremo superiore 2 fa parte dell'insieme , quindi e' anche massimo
un punto e' di minimo se e' l'estremo inferiore ed appartiene all'insieme
un punto e' di massimo se e' l'estremo superiore ed appartiene all'insieme