sviluppo


Data la seguente funzione determinatene, se possibile, la funzione inversa indicandone anche le eventuali restrizioni nel dominio

    y = log(x-2) - logx

Dovendo essere gli argomenti maggiori di zero avremo che dovra' essere contemporaneamente x > 0 e x > 2, quindi la funzione e' definita per x > 2
D = {x ∈ ℜ / x > 2 }

Essendo il secondo membro una differenza di logaritmi posso, per le proprieta' dei logaritmi, scrivere
    y = log x - 2

x
Attenzione: e' una funzione diversa dalla precedente: infatti il suo dominio e' diverso, ma noi ci limitiamo ad una restrizione della funzione nel dominio considerato

per trovarne l'inversa scambio tra loro x ed y

    x = log y - 2

y


porto i termini con la y prima dell'uguale (senza cambiare di segno leggo a rovescio)

    log y - 2

y
= x


per eliminare il logaritmo applico l'esponenziale da entrambe le parti

    elog y - 2

y
= ex


logaritmo ed esponenziale si elidono vicendevolmente

    y - 2

y
= ex


supponendo y≠0 faccio il minimo comune multiplo

    y - 2

y
= ex yex

y


tolgo i denominatori

    y - 2 = yex

sposto il termine con la x prima dell'uguale ed il termine noto dopol'uguale

    y - yex = 2

raccolgo y

    y(1 - ex) = 2

Supponendo ex≠1 ricavo la y

y = 2

1 - ex


questa funzione e' definita per ex≠1

il suo dominio e' dato. inoltre, dalla restrizione della funzione precedente all'intervallo x>2, cosa che richiederebbe una trattazione a parte; per ora accontentiamoci cosi'