dimostrazione

Devo dimostrare la legge associativa
Faccio riferimento alle leggi di definizione dell'algebra di Boole; a destra ti indico la legge applicata per ottenere il risultato
Questa dimostrazione e' abbastanza complicata

Voglio dimostrare che (a + b) + c = a + (b + c)

  1. aggiungiamo a ad entrambe i termini dell'uguaglianza e dimostriamo prima che vale
    a + (a + b) + c = a
  2. poi che vale
    a + a + (b + c)= a
  3. poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale
    a' + (a + b) + c = a' + (b·c)
  4. e vale anche
    a' + a + (b + c) = a' + (b·c)
  5. per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi

a + (a·b) = (a·1) + (a·b)    (seconda legge dell'identita')
(a·1) + (a·b)= a ·(1 + b)    (seconda legge distributiva letta a rovescio)
a ·(1+b) = a ·(b+1)    (proprieta' commutativa della somma)
a ·(b+1) = a ·1    (legge dei confini dimostrata prima)
a ·1= a    (seonda legge dell'identita')

quindi, per la proprieta' transitiva delle uguaglianze, leggendo il primo e l'ultimo termine delle uguaglianze otteniamo
a + (a·b) = a
come volevamo

Dimostriamo anche la formula complementare: nota che la dimostrazione e' la stessa cambiando il prodotto in somma, cambiando lo 0 in 1 e considerando la stessa legge ma con numero diverso: seconda al posto della prima e prima al posto della seconda
tenendo presente cio', puoi fare tu la dimostrazione complementare e controllare poi i passaggi cosi' ti serve di esercizio anche per ripassare le regole

Voglio dimostrare che
(a·b)·c = a·(b·c)

  1. aggiungiamo a ad entrambe i termini dell'uguaglianza e dimostriamo prima che vale
    a + (a·b)·c = a
  2. poi che vale
    a + a·(b·c) = a
  3. poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale
    a' + (a·b)·c = a' + (b·c)
  4. e vale anche
    a' + a·(b·c) = a' + (b·c)
  5. per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi

Eseguiamo i calcoli
  1. aggiungo a al primo termine
    a + (a·b)·c = a
    voglio dimostrare che vale
    a + (a·b)·c = a
    Parto da a + (a·b)·c

    a + (a·b)·c = a + ((a·b)·c)
    a + ((a·b)·c) = (a + (a·b)) + (a·c) (prima legge distributiva)
    (a + (a·b)) + (a·c) = a + (a·c) (seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)
    a + (a·c) = a (prima legge dell'assorbimento dimostrata prima)
  2. ora dimostro che vale
    a + a·(b·c) = a
    Parto da a + a·(b·c) =

    a + a·(b·c) = (a + a) · (a + (b·c)) (prima legge distributiva)
    (a + a) · (a + (b·c)) = a · (a + (b·c)) = (idempotenza; dimostrata prima)
    = a · (a + (b·c)) = a · (a + b)(·(a+c)) (prima legge distributiva)
    a · (a + b)(·(a+c)) = (a · (a + b))·(a+c) (considero la prima operazione)
    (a · (a + b))·(a+c) = a·(a+c) ( seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)
    a·(a+c) = a ( seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)








  3. poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale
    a' + (a·b)·c = a' + (b·c)
  4. e vale anche
    a' + a·(b·c) = a' + (b·c)
  5. per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi