esempio di relazione d'ordine parziale non antisimmetrica

Una relazione R su un insieme A e' antisimmetrica se vale
da a≤b e b≤a ⇒ a=b    ∀ a,b ∈ B
Come esempio di insieme parzialmente ordinato con relazione d'ordine non antisimmetica prendiamo il piano cartesiano e consideriamo i punti appartenenti ad un cerchio chiuso (significa che considero anche la circonferenza di bordo) di raggio 1 di cui consideriamo solo 1/4 di cerchio cioe' consideriamo il primo quadrante
ogni punto P sara' individuato da due coordinate P≡(x;y)
Consideriamo come misura (Mis) per ogni punto la sua distanza dall'origine
Mis(P) = (x2+y2)
e poniamo la relazione
P≤Q Mis(P)≤Mis(Q)
cioe' dati due punti P e Q appartenenti al cerchio il primo non e' maggiore del secondo se e solo se la distanza dal centro del primo non e' maggiore dalla distanza dal centro del secondo
  • la relazione e' riflessiva
    P≤P Mis(P)≤Mis(P) ∀ P
    ogni punto ha sempre la stessa distanza dall'origine
  • la relazione e' transitiva
    da(P≤Q Mis(P)≤Mis(Q)) e da (Q≤S Mis(q)≤Mis(S)) ⇒ (P≤S Mis(P)≤Mis(S)) ∀ P,Q,S
    il confronto delle distanze gode della proprieta' transitiva
  • la relazione non e' antisimmetrica
    cioe' da
    (P≤Q Mis(P)≤Mis(Q)) e da (Q≤P Mis(Q)≤Mis(P))
    non segue P=Q

    infatti presi due punti diversi sul cerchio, P e Q essi restano diversi pur avendo uguale distanza dall'origine: in figura ho evidenziato 2 punti sul bordo del cerchio