dimostrazione
Devo dimostrare la legge associativa
Faccio riferimento alle leggi di definizione dell'algebra di Boole; a destra ti indico la legge applicata per ottenere il risultato
Questa dimostrazione e' abbastanza complicata
Voglio dimostrare che
(a + b) + c = a + (b + c)
- aggiungiamo a ad entrambe i termini dell'uguaglianza e dimostriamo prima che vale
a + (a + b) + c = a
- poi che vale
a + a + (b + c)= a
-
poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale
a' + (a + b) + c = a' + (b·c)
- e vale anche
a' + a + (b + c) = a' + (b·c)
- per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi
a + (a·b) = (a·1) + (a·b) (seconda legge dell'identita')
(a·1) + (a·b)= a ·(1 + b) (seconda legge distributiva letta a rovescio)
a ·(1+b) = a ·(b+1) (proprieta' commutativa della somma)
a ·(b+1) = a ·1 (legge dei confini dimostrata prima)
a ·1= a (seonda legge dell'identita')
quindi, per la proprieta' transitiva delle uguaglianze, leggendo il primo e l'ultimo termine delle uguaglianze otteniamo
a + (a·b) = a
come volevamo
Dimostriamo anche la formula complementare: nota che la dimostrazione e' la stessa cambiando il prodotto in somma, cambiando lo 0 in 1 e considerando la stessa legge ma con numero diverso: seconda al posto della prima e prima al posto della seconda tenendo presente cio', puoi fare tu la dimostrazione complementare e controllare poi i passaggi cosi' ti serve di esercizio anche per ripassare le regole
Voglio dimostrare che
(a·b)·c = a·(b·c)
- aggiungiamo a ad entrambe i termini dell'uguaglianza e dimostriamo prima che vale
a + (a·b)·c = a
- poi che vale
a + a·(b·c) = a
-
poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale
a' + (a·b)·c = a' + (b·c)
- e vale anche
a' + a·(b·c) = a' + (b·c)
- per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi
Eseguiamo i calcoli
- aggiungo a al primo termine
a + (a·b)·c = a
voglio dimostrare che vale
a + (a·b)·c = a
Parto da a + (a·b)·c
a + (a·b)·c = a + ((a·b)·c)
a + ((a·b)·c) = (a + (a·b)) + (a·c) (prima legge distributiva)
(a + (a·b)) + (a·c) = a + (a·c) (seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)
a + (a·c) = a (prima legge dell'assorbimento dimostrata prima)
- ora dimostro che vale
a + a·(b·c) = a
Parto da a + a·(b·c) =
a + a·(b·c) = (a + a) · (a + (b·c)) (prima legge distributiva)
(a + a) · (a + (b·c)) = a · (a + (b·c)) = (idempotenza; dimostrata prima)
= a · (a + (b·c)) = a · (a + b)(·(a+c)) (prima legge distributiva)
a · (a + b)(·(a+c)) = (a · (a + b))·(a+c) (considero la prima operazione)
(a · (a + b))·(a+c) = a·(a+c) ( seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)
a·(a+c) = a ( seconda legge dell'assorbimento dimostrata prima)
-
poi aggiungeremo a' ad entrambe i termini dell'uguaglianze e mostreremo che vale a' + (a·b)·c = a' + (b·c)
- e vale anche
a' + a·(b·c) = a' + (b·c)
- per la proprieta' transitiva delle uguaglianze
seguira' la tesi
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