Calcoliamo
(a+b+c)3=
la potenza 3 significa il moltiplicare la base 3 volte per se' stessa
=(a+b+c)·(a+b+c)·(a+b+c)=
moltiplichiamo il primo fattore per il secondo, anzi ricordiamoci che l'abbiamo gia' fatto perche' e' il quadrato di un trinomio e quindi sappiamo che vale
(a+b+c)2= (a+b+c)·(a+b+c) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
quindi posso scrivere
=(a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)·(a+b+c)=
ora moltiplico termine a termine il primo polinomio per il secondo: siccome sono 6 termini per 3 termini otterro' 18 termini, quindi capisci che devi procedere con calma perche' e' molto facile sbagliarsi
Moltiplico il primo termine a2 per (a+b+c)
a2· a = a3
a2·b = a2b
a2·c = a2c

Moltiplico il secondo termine b2 per (a+b+c)
b2· a = ab2
b2·b = b3
22·c = b2c

Moltiplico il terzo termine c2 per (a+b+c)
c2· a = ac2
c2·b = bc2
c2·c = c3

Moltiplico il quarto termine 2ab per (a+b+c)
2ab· a = 2a2b
2ab·b = 2ab2
2ab·c = 2abc

Moltiplico il quinto termine 2ac per (a+b+c)
2ac· a = 2a2c
2ac·b = 2abc
2ac·c = 2ac2

Moltiplico il sesto termine 2bc per (a+b+c)
2bc· a = 2abc
2bc·b = 2b2c 2bc·c = 2bc2

Ora li scrivo in fila
= a3 + a2b + a2c + ab2 + b3 + b2c + ac2 + bc2 + c3 + 2a2b + 2ab2 + 2abc + 2a2c + 2abc + 2ac2 + 2abc + 2b2c + 2bc2 =

adesso sommo tra loro i termini simili, cioe'
a2b + 2a2b = 3a2b
a2c + 2a2c = 3a2c
ab2 + 2ab2 = 3ab2
b2c + 2b2c = 3b2c
ac2 + 2ac2 = 3ac2
bc2 + 2bc2 = 3bc2
2abc + 2abc +2abc= 6abc
ora li scrivo ordinandoli secondo le potenze (prima la potenza piu' alta ) e poi secondo le lettere cioe' a viene prima di b e 3b2c viene prima di 3bc2)
= a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3a2c + 3ab2 + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc