esercizio

Discutere la seguente equazione

x - 2             x + 1                x + 2a
--------- - ------------- = 1 - ----------
a - 3                2                    2a - 6


Come prima cosa impongo che sia ( C.R. condizioni di realta')
2a - 6 0 cioe' a 3
Perche' per questo valore l'equazione perde di significato
devo risolvere come un'espressione, prima scompongo i denominatori

x - 2             x + 1                x + 2a
--------- - ------------- = 1 - ----------
a - 3                2                   2(a - 3)


il minimo comune multiplo e'
2(a - 3)
riduco allo stesso denominatore (diminuisco il carattere per non dover andare a capo)

2(x - 2) - (x + 1)(a - 3)          2(a - 3) - (x + 2a)
----------------------------- = ------------------------
     2(a - 3)                                  2(a - 3)


Elimino i denominatori (posso farlo per le condizioni di realta' C.R.)

2(x - 2) - (x + 1)(a - 3) = 2(a - 3) - (x + 2a)

Eseguo le moltiplicazioni (io faccio tutti i passaggi, tu puoi abbreviare)

2x - 4 - (ax -3x + a - 3) = 2a - 6 - x - 2a

2x - 4 - ax + 3x - a + 3 = 2a - 6 - x - 2a

Termini con la x prima e quelli senza dopo l'uguale, chi salta l'uguale cambia di segno

2x - ax + 3x + x = 2a - 6 - 2a + 4 + a - 3

6x - ax = a -5

x(6 - a) = a - 5


Ora dovrei applicare il secondo principio dividendo entrambe i termini per (6-a) ma posso farlo solo se (6-a) e' diverso da zero mentre se e' uguale a zero avro' un'equazione o impossibile o indeterminata:
distinguo i due casi
  • se 6 - a 0 ( equivale a dire a 6 )
    posso dividere

    x(6 - a)       a - 5
    --------- = --------
     6 - a          6 -a

    semplifico

            a - 5
    x = --------
            6 -a

  • L'altra possibilita'

    se a = 6 sostituisco sei invece di applicare il secondo principio

    x(6 - 6) = 6 - 5

    0 = 1
    equazione impossibile
Raccogliendo i risultati:
se a = 3 l'equazione perde di significato
se a 3 e a 6    x = (a-5)/(6-a)
se a 3 e a = 6 equazione impossibile