esercizio
data l'equazione
kx2 -kx + k + 2 = 0
trovare il valore di k affinche' la somma dei quadrati degli inversi delle radici valga 4
significa che
1 1
----- + ----- = 4
x12 x22
faccio il m.c.m. prima dell'uguale
x22 + x12
---------------- = 4
x12x22
sopra aggiungo e tolgo il doppio prodotto 2x1x2 per farlo diventare un quadrato, sotto posso considerarlo come quadrato del prodotto

x12 + x22 + 2x1x2 - 2x1x2
---------------------------------- = 4
(x1 x2)2


(x1 + x2)2 - 2x1x2
--------------------------- = 4
(x1 x2)2


abbiamo
a = k
b = - k
c = k+2

quindi la somma
b - k
- ----- = x1 + x2 = - ----------  
a k
mi da' la relazione
x1 + x2 = 1
il prodotto vale
c k + 2
  ----- = x1 · x2 = ----------
a k
Sostituendo ottengo
k+2
(1)2 - 2 ------------  
k
--------------------------- = 4
(k+2)2
------------
k2


2k + 4 (k + 2)2
1 - ------------ = 4 -------------
k k2


k -2k - 4 4(k2 + 4k + 4)
-------------- = -------------------------
k k2


-k - 4 4k2 + 16k + 16
-------------- = -------------------------
k k2
faccio il m.c.m.
- k2 - 4k 4k2 +16k + 16
------------ = ------------------------
k2 k2
elimino i denominatori supponendo k0
k2 - 4k = 4k2 + 16k + 16
-5k2 - 20k - 16 = 0
cambio segno
5k2 + 20k + 16 = 0         calcoli
ottengo le due soluzioni
-10 25
k = ---------------------
5