Disuguaglianza fra un modulo ed un numero reale positivo



Troveremo questa disuguaglianza soprattutto quando dovremo verificare il valore di un limite di successione o di funzione

Vale sempre, essendo b un numero reale positivo;
|a|≤b ⇔ -b ≤ a ≤ b
ed anche
|a|<b ⇔ -b < a < b

Cioe' se un modulo e' minore di un numero reale si puo' togliere il modulo ponendone l'argomento compreso fra i valori negativo e positivo del numero reale:

Dimostrazione
a puo' essere positivo, nullo oppure negativo
prima considero il caso positivo o nullo, poi il caso negativo

supponiamo che a sia positivo o nullo allora avremo sicuramente a≥-b
ed inoltre essendo |a|≤b questo implica a ≤ b (per ipotesi a e' positivo e b e' positivo)
quindi raccogliendo ottengo
-b ≤ a ≤ b come volevo

Suppongo che a sia negativo; allora risulta certamente a < b;
inoltre la disuguaglianza |a|<b implica -a <b (per ipotesi a e' negativo e quindi -a e' positivo)
essendo b un numero reale positivo se moltiplico la disuguaglianza precedente per -1 ottengo la disuguaglianza vera -b < a,
quindi raccogliendo ottengo
-b < a < b come volevo

Raccogliendo assieme tutti i risultati ottengo che per qualunque a∈ℜ vale
-b ≤ a ≤ b essendo b un numero reale positivo


Esempio
Risolvere la seguente equazione
|x - 4| ≤ 2x+3
applico la regola per togliere il modulo
-2x -3 ≤ x-4 ≤ 2x +3
questa scrittura equivale a risolvere contemporaneamente le disequazioni
-2x -3 ≤ x-4
x-4 ≤ 2x +3

-2x-x ≤ +3-4
x-2x ≤ 4 +3

-3x ≤ -1
-x ≤ 7

cambio di segno e verso
3x ≥ 1
x ≥ 7

x ≥ 1/3
x ≥ -7

Siccome devo considerare ove sono entrambe verificate la soluzione sara' data dai valori comuni, cioe'
               -7                    1/3
x ≥ 1/3                                       °‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
x ≥ -7               °‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾
dove abbiamo entrambe le linee spesse, quindi
x ≥ 1/3

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