Esercizio

Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata

x + 6 + |2x-2| > 0

Parto dalla definizione di modulo cioe'
|a| =  a se a>0
|a| = -a se a<0
quindi pongo |2x-2| >0 e trovato l'intervallo dei valori per cui e' positivo non cambio di segno l'espressione, cioe' sostituisco al modulo 2x-2,
mentre per l'intervallo dei valori in cui e' negativo cambio di segno l'espressione, cioe' sostituisco al modulo -2x+2

2x - 2 > 0
2x > 2
x > 1

Significa che nell'intervallo x > 1 il termine entro il modulo e' positivo quindi metto 2x-2 al posto del modulo
invece nell'intervallo x < 1 il termine entro il modulo e' negativo quindi cambio di segno e metto -2x+2 al posto del modulo
siccome ho anche il punto x=1 di solito lo aggiungo alla determinazione positiva mettendo il ; la mia disequazione diventa

x + 6 +(-2x+2) > 0    se    x < 1
x + 6 + 2x-2 > 0       se    x ≥ 1

Quindi devo risolvere due disequazioni:
la prima nell'intervallo x<1
la seconda nell'intervallo x≥1

te le indico in un grafico: sopra l'equazione e sotto l'intervallo in cui tale equazione e' valida

x + 6 +(-2x+2) > 0 x + 6 + 2x -2 > 0
__________________________________ 1____________________________________


Risolvo la prima
x + 6 +(-2x+2) > 0    se    x < 1
x + 6 - 2x + 2 > 0
-x + 8 > 0
-x > -8
x < 8 nell'intervallo x < 1


quindi siccome devo considerare solamenbte i valori dell'intervallo x<1 scrivero' solamente:

x < 1

Risolvo la seconda
x + 6 + 2x -2 > 0    se    x ≥ 1
3x + 4 > 0
3x > -4
x > -4/3 nell'intervallo x ≥ 1


e siccome devo considerare solamente i valori dell'intervallo x≥1 scrivero':

x ≥ 1

adesso devo mettere assieme i risultati e trovo la soluzione

Soluzione
x <1 U x ≥1
cioe' per ogni valore di x
∀ x ∈ ℜ
oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l'equazione,
______________________________
_____________________________ℜ



alcuni professori, senza mettere le condizioni solamente in alto, preferiscono trattare le disequazioni divise come un sistema:
x + 6 +(-2x+2) > 0
x < 1
e
x + 6 + 2x -2 > 0
x ≥ 1
in effetti e' piu' preciso, anche se talvolta e' graficamente pesante quando i moduli sono piu' di uno; comunque nel prossimo esercizio faremo cosi' anche noi, riservandoci di usare l'altro metodo quando dovremo mettere troppi vincoli