Esercizio

Dire per quali valori di x la seguente disequazione risulta verificata

x + 6 + |x-4| + |x-1| ≤ -x + |x+3|

Parto dalla definizione di modulo cioe'
|a| =  a se a>0
|a| = -a se a<0
quindi pongo |x-4|>0, |x-1|>0 ed |x+3| >0 e, se risultano negativi, li cambio di segno

 x - 4 > 0
x - 1 > 0
x + 3 > 0

x > 4
x > 1
x > -3

trovo tre punti che mi dividono la retta reale in 4 intervalli, come vedi dal grafico qui sotto

x>4 -   -   -   -   -   -   -   - -   -   -   -   -   -   -   - -   -   -   -   -   -   -   -   - +   +   +   +   +   +   +   +   +
x>1 -   -   -   -   -   -   -   - -   -   -   -   -   -   -   - +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +   +
x>-3 -   -   -   -   -   -   -   - +   +   +   +   +   + +   +   +   +   +   +   + +   +   +   +   +   +   +   +   +
ℜ -∞_____________________ -3______________________ 1_________________________ 4_____________________________+∞
x < -3 -3 ≤ x < 1 1 ≤ x < 4 x ≥ 4


Nel primo intervallo (x<-3) gli argomenti dei 3 moduli sono tutti negativi
Nel secondo intervallo (-3 ≤ x < 1 ) i primi due moduli hanno argomento positivo, mentre il terzo modulo ha argomento negativo
Nel terzo intervallo ( 1 ≤ x < 4 ) il primo modulo ha argomento negativo, mentre il secondo ed il terzo modulo hanno argomento positivo
Nel quarto intervallo ( x ≥ 4 ) tutti e tre i moduli hanno argomento positivo

per ogni intervallo devo controllare se gli argomenti dei moduli sono positivi o negativi e scrivere le relative equazioni: te lo sviluppo passo-passo
  • Primo intervallo: da -∞ a -3
    x < -3
    l'argomento del modulo |x-4| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4
    l'argomento del modulo |x-1| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+1
    l'argomento del modulo |x+3| e' negativo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo -x-3
    quindi ho l'equazione
    x + 6 - x + 4 - x + 1 ≤ -x -x - 3
    e posso considerare il sistema
    x + 6 - x + 4 - x + 1 ≤ -x -x - 3
    x < -3
    o, meglio, facendo i calcoli
    - x + 11 ≤ -2x - 3
    x < -3

  • Secondo intervallo: da -3 (compreso) ad 1
    -3≤ x < 1
    l'argomento del modulo |x-4| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4
    l'argomento del modulo |x-1| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+1
    l'argomento del modulo |x+3| e' positivo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo x+3
    quindi ho l'equazione
    x + 6 - x + 4 - x + 1 ≤ -x + x + 3
    e posso considerare il sistema
    x + 6 - x + 4 - x + 1 ≤ -x + x + 3
    -3≤ x < 1
    o, meglio, facendo i calcoli
    -x + 11 ≤ 3
    -3≤ x < 1

  • Terzo intervallo: da 1 (compreso) a 4
    1 ≤ x < 4
    l'argomento del modulo |x-4| e' negativo quindi devo sostituire al posto del modulo -x+4
    l'argomento del modulo |x-1| e' positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-1
    l'argomento del modulo |x+3| e' positivo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo x+3
    quindi ho l'equazione
    x + 6 - x + 4 + x - 1 ≤ -x + x + 3
    e posso considerare il sistema
    x + 6 - x + 4 + x - 1 ≤ -x + x + 3
    1 ≤ x < 4
    o, meglio, facendo i calcoli
    x + 9 ≤ 3
    1 ≤ x < 4
  • quarto intervallo: da 4 (compreso) a +∞
    x ≥ 4
    l'argomento del modulo |x-4| e' positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-4
    l'argomento del modulo |x-1| e' positivo quindi devo sostituire al posto del modulo x-1
    l'argomento del modulo |x+3| e' positivo quindi devo sostituire nell'equazione al posto del modulo x+3
    quindi ho l'equazione
    x + 6 + x - 4 + x - 1 ≤ -x + x + 3
    e posso considerare il sistema
    x + 6 + x - 4 + x - 1 ≤ -x + x + 3
    x ≥ 4
    o, meglio, facendo i calcoli
    3x + 1 ≤ 3
    x ≥ 4

la mia disequazione e' equivalente ai 4 sistemi

I  - x + 11 ≤ -2x - 3
x < -3
   II  -x + 11 ≤ 3
-3≤ x < 1 		   III  x + 9 ≤ 3
1 ≤ x < 4		    IV  x + 1 ≤ 3
x ≥ 4


Non c'e' piu' bisogno di fare riferimento all'intervallo di validita' perche' esso e' inglobato nel sistema, quindi, risolvendo il sistema otterremo automaticamente i risultati negli intervalli validi

Risolvo il primo sistema
- x + 11 ≤ -2x - 3
x < -3

- x + 2x ≤ -11 - 3
x < -3

x ≤ -14
x < -3

faccio il grafico
x≤-14 ________________-14                                                
x<3 ____________________ ________________-3

il sistema ha soluzione x≤-14    (devi considerare dove sono valide entrambe)

Risolvo il secondo sistema
-x + 11 ≤ 3
-3≤ x < 1

-x ≤ 3 - 11
-3≤ x < 1

-x ≤ -8
-3≤ x < 1

x ≥ 8
-3≤ x < 1

faccio il grafico
x ≥ 8                         8________________
-3≤ x < 1                   -3_______________1                                                

il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe)

Risolvo il terzo sistema
x + 9 ≤ 3
1 ≤ x < 4

x ≤ -6
1 ≤ x < 4

faccio il grafico
x≤-6 ____________________-6
1 ≤ x < 4                         1___________________4

per indicare che il punto e' compreso ho messo il trattino sotto; di solito nei grafici si indica con un tondino
 il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe)

Risolvo il quarto sistema
3x + 1 ≤ 3
x ≥ 4

3x ≤ 3 - 1
x ≥ 4

3x ≤ 2
x ≥ 4

x ≤ 2/3
x ≥ 4

faccio il grafico
x ≤ 2/3 ________________ __________________ ___________2/3  
x≥4                 4___________________

il sistema non ammette soluzione (devi considerare dove sono valide entrambe)

adesso metto assieme i risultati dei tre sistemi e trovo la soluzione

Soluzione
x ≤ -14

cioe'

∀ x ∈ ℜ / x ∈ ]-∞ ; -14]   
Il simbolo / significa "tale che".
Si legge: per ogni numero Reale x tale che x appartenga all'intervallo semiaperto da meno infinito a -14: semiaperto significa che -∞ non e' una compreso ma -14 e' compreso quindi appartiene alle soluzioni

oppure, in grafico, considerando in rosso i punti che verificano l'equazione:

x≤-14 _________________-14
ℜ ∞____________________ _____________________________________