Problema:


In un rettangolo la differenza fra il doppio dell'altezza e la misura della base vale 18 cm. La misura della diagonale vale 45 cm. Determinare l'area del rettangolo
Costruiamo prima la figura e scriviamo per esteso tutte le relazioni che abbiamo
la differenza fra il doppio dell'altezza e la misura della base vale 18 cm
lo traduco come      sviluppo
2AB - BC = 18 cm__ __
La misura della diagonale vale 45 cm
la traduco come
BD = 45 cm __
Stavolta lo facciamo con un sistema sostituendo x ed y alle grandezze incognite AB__e BC__
Con due incognite abbiamo bisogno di due relazioni: la prima va bene, per la seconda dobbiamo trovare un teorema che includa tutti i dati (comprese le incognite messe)
Viene immediato applicare il teorema di Pitagora al triangolo BCD

AB = x __
BC = y __
Come prima relazione ottengo:
2x - y = 18
Per la seconda relazione applico il teorema di Pitagora al triangolo BCD ricordando che anche BD = x
BC2 + CD2 = BD2 __ __ __
Sostituisco i dati e le incognite alle lettere
x2 + y2 = 452
ottengo quindi il sistema di secondo grado:
2x - y = 18
x2 + y2 = 2025

ricavo la y dalla prima relazione e ne sostituisco il valore nella seconda
- y = - 2x + 18
x2 + y2 = 2025


y = 2x - 18
x2 + y2 = 2025


y = 2x - 45
x2 + (2x - 18)2 = 2025

Calcolo il quadrato
y = 2x - 18
x2 + 4x2 - 72x + 324 = 2025

sommo ed ottengo
y = 2x - 45
5x2 - 72x - 1701 = 0

La seconda e' un'equazione di secondo grado, la risolvo ed ottengo come soluzioni         Calcoli

x1 = 27        x2 = -63/5
Siccome devo trovare la misura x dell'altezza accetto solo la radice positiva. Sostituisco il valore 27 nel sistema
y = 2(27) - 18 = 54 - 18 = 36
x = 27

Quindi ottengo:
AB = 27 cm __
BC = 36 cm __

e l'area sara' data da
Area Rettangolo = AB · BC = 27 cm·36 cm = 972 cm 2__ __