Metodo di Cramer


Cerchiamo di capire come si arriva al metodo di Cramer
Dobbiamo partendo dal sistema
ax + by = c
dx + ey = f
arrivare alla soluzione
      ce - bf
x = --------
      ae - bd

      af - cd
y = --------
      ae - bd
Notiamo che nelle soluzioni compaiono solo i coefficienti numerici del sistema; li scrivo in ordine come sono
a    b    c
d    e    f
Ora al denominatore sia della x che della y compare il valore ae - bd formato dai valori delle prime due colonne: allora estraggo le prime due colonne
a    b
d    e
perche' questo diventi uguale ad ae - bd dovro' definirlo come prodotto fra il primo e il quarto termine meno il secondo per il terzo
a primo termine      b secondo termine
d terzo termine      e quarto termine

a    b
d    e
= a·e - b·d = ae - bd
Ora passiamo a controllare la x: al numeratore il risultato vale ce - bf quindi coinvolge la seconda e la terza colonna
b    c
e    f
Pero' se calcoliamo come prima ci viene il segno sbagliato:
b    c
e    f
= b·f - c·e = bf - ce (invece di ce - bf)
Ma per avere il segno giusto basta scambiare le colonne
c    b
f    e
= c·e - b·f = ce - bf
Allora per avere il segno giusto diciamo che prendiamo il determinante delle prime due colonne e eliminiamo la colonna delle x ed al suo posto mettiamo la colonna dei termini noti
Nel nostro caso basterebbe dire che cambio segno, pero' siccome questo metodo sara' usato anche con tre, quattro,.. n equazioni quello che ho scritto andra' bene in generale
E il valore della x sara' dato da
      c    b
f    e
         c·e - b·f       ce - bf
x = ------------- = -------------- = ----------
      a    b
d    e
        a·e - b·d      ae - bd
Lo stesso ragionamento varra' per la y: al denominatore mettero' le prime due colonne ed al numeratore eliminero' la colonna delle y ed al suo posto mettero' la colonna dei termini noti
      a    c
d    f
         a·f - c·d       af - cd
x = ------------- = -------------- = ----------
      a    b
d    e
          a·e - b·d      ae - bd