risolvere il sistema: x + y = 2 y + z = 3 x - z = -1 y + t = 2 Considero le matrici incompleta e completa 1     1     0     0 0     1     1     0 1     0    -1     0 0     1     0     1                     1     1     0     0     2 0     1     1     0     3 1     0    -1     0    -1 0     1     0     1     2 Matrice incompleta Matrice completa Calcolo il determinante della matrice incompleta e vedo che vale: 1     1     0     0 0     1     1     0 1     0    -1     0 0     1     0     1 = 0     Calcoli Quindi il rango della matrice incompleta e' inferiore a 4 Calcolo il rango della matrice completa: posso estrarre 4 determinanti di ordine 4 oltre quello calcolato sopra (che coincide col determinate della matrice incompleta) e devo calcolarli finche' non ne trovo uno diverso da zero: Siccome l'esercizio l'ho fatto io (e per avere la terza equazione ho fatto la differenza fra la prima e la seconda) posso osservare che la terza riga e' differenza fra le prime due e quindi i minori estratti di ordine 4 contenendo la terza riga sono tutti uguali a zero. Pero' se non faccio queste osservazioni devo passare un pomeriggio a fare conti, allora ti conviene studiare bene le proprieta' dei determinanti per vedere queste scorciatoie (fare link) e fare molti esercizi per acquisire esperienza (qui e' fondamentale) Vado a calcolare se i ranghi della matrice completa ed incompleta valgono 3 Per vederlo prendo un minore che non contenga la terza riga ad esempio il minore segnato in blu 1     1     0     0 0     1     1     0 1     0    -1     0 0     1     0     1 cioe' 1     1     0 0     1     1 0     1     0 = -1      Calcoli Essendo questo un minore sia della matrice completa che della matrice incompleta avro' che i ranghi valgono 3. Utilizzo il minore calcolato per evidenziare il nuovo sistema (lascio l'incognita t come parametro) x + y = 2 y + z = 3 y = 2 - t converrebbe risolverlo per sostituzione visto che la y e' gia' cvalcolata, ma, per esercizio, continuiamo con i determinanti Considero le matrici incompleta e completa 1     1     0 0     1     1 0     1     0                     1     1     0     2 0     1     1     3 0     1     0    2-t Matrice incompleta Matrice completa Applico la regola di Cramer Calcolo la x           2     1     0  3     1     1 2-t    1     0 x = ----------------------- = t            Calcoli          1     1     0 0     1     1 0     1     0 Calcolo la y          1     2     0 0     3    1 0   2-t    0 y = ----------------------- = 2 - t            Calcoli          1     1     0 0     1     1 0     1     0 Calcolo la z          1     1     2 0     1     3 0    1    2-t z = ----------------------- = t+1            Calcoli          1     1     0 0     1     1 0     1     0 Quindi ho il risultato: x = t y = 2 - t z = t + 1 Ho quindi infinite oo1 soluzioni al variare di t