Vediamo un paio di esercizi
1)
Risolvere il seguente sistema:
x2 + y2 = 5
x - y = 1
 Il sistema e' di secondo grado perche' la prima equazione e' di grado 2 e la seconda di grado 1
ricavo la x dalla seconda equazione e sostituisco il valore trovato nella prima equazione
(y+1)2 + y2 = 5
x = y + 1
 eseguo i calcoli (al posto della seconda equazione metto una linea per indicare che non la uso)
y2 + 2y + 1 + y2 = 5
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2y2 + 2y - 4 = 0
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y2 + y - 2 = 0
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Risolvo l'equazione ed ottengo      calcoli
y1 = 1      y2 = -2
Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta al posto dell'equazione mancante e calcolare le x corrispondenti
  • Primo valore y = -2
    y = -2
    x = y + 1

    y = -2
    x = -2 + 1

    y = -2
    x = -1
  • Secondo valore y = 1
    y = 1
    x = y + 1

    y = 1
    x = 1 + 1

    y = 1
    x = 2
Ottengo quindi le soluzioni
prima soluzione     x = -1
y = -2
 		      seconda soluzione     x = 2
y = 1
Di solito prima di avere il sistema ridotto a forma normale bisogna eseguire calcoli piu' o meno difficili.
Vediamo un esempio con calcoli semplici

2)
Risolvere il seguente sistema:
2(x + y)2 - (x-1)(3x+y) = x - 1
x + 2y + 4 = 0
 eseguo i calcoli
2(x2 + 2xy + y2) - (3x2 + xy -3x -y) = x - 1
x + 2y + 4 =0
2x2 + 4xy + 2y2 - 3x2 - xy + 3x + y - x + 1 = 0
x + 2y + 4 = 0

-x2 + 3xy + 2y2 + 2x + y + 1 = 0
x + 2y + 4 = 0
 Ora il sistema e' ridotto a forma normale: ricavo la x dalla seconda equazione e sostituisco il valore trovato nella prima equazione
-(-2y-4)2 + 3y(-2y-4) + 2y2 + 2(-2y-4) + y + 1 = 0
x = -2y - 4
 eseguo i calcoli (al posto della seconda equazione metto una linea per indicare che non la uso)
-(4y2 + 16y + 16) - 6y2 - 12y + 2y2 - 4y - 8 + y +1 = 0
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-4y2 - 16y - 16 - 6y2 - 12y + 2y2 - 4y - 8 + y +1 = 0
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-8y2 - 31y - 23 = 0
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cambio di segno
8y2 + 31y + 23 = 0
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Risolvo l'equazione ed ottengo      calcoli
y1 =   23
- --------
8 		      y2 = -1
Ora devo sostituire i valori trovati uno alla volta al posto dell'equazione mancante e calcolare le x corrispondenti
  • Primo valore y = -23/8
    y = - 23/8
    x = -2y - 4

    y = -23/8
    x = -2(-23/8) - 4 = 23/4 - 4

    y = -23/8
    x = 7/4
  • Secondo valore y = -1
    y = -1
    x = -2y - 4

    y = -1
    x = -2(-1) - 4 = 2 - 4

    y = -1
    x = -2
Ottengo quindi le soluzioni
prima soluzione     x = -2
y = -1
      seconda soluzione     x = 7/4
y = -23/8
Ho ordinato le soluzioni secondo i valori della x: dal piu' piccolo al piu' grande, intendendo per piu' piccolo quello piu' spostato a sinistra verso i valori negativi