Un sistema si dice omogeneo se le equazioni, con l'eccezione dei termini noti, hanno tutti i termini con lo stesso grado; ad esempio e' omogeneo il sistema: ![]() x + y = 11 Questo sopra si puo' risolvere anche per sostituzione; vediamo invece come si risolvono quando le equazioni sono di secondo grado Risolvere il seguente sistema ![]() x2 - 3y2 + 2xy = 5 Poniamo y = tx otteniamo ![]() x2 - 3t2x2 + 2tx2 = 5 Metto in evidenza x2 in entrambe le espressioni prima dell'uguale ![]() x2(1 - 3t2 + 2t) = 5 adesso dividiamo membro a membro entrambe le equazioni
5(2 + t2 - 3t) = 3( 1 - 3t2 + 2t) 10 + 5t2 - 15t = 3 - 9t2 + 6t 14t2 - 21t + 7 = 0 dividiamo tutto per 7 (cosi' abbiamo meno calcoli) 2t2 - 3t + 1 = 0 risolvo ed ottengo Calcoli t1 = 1/2 t2 = 1 ora costruisco un sistema con l'equazione y=tx e con una delle due equazioni del sistema con la t (la piu' facile) ![]() x2(1 - 3t2 + 2t) = 5 e vi sostituisco i valori trovati uno alla volta sostituisco t=1/2 ![]() x2[1 - 3(1/2)2 + 2(1/2)] = 5 calcolo ![]() 5/4 x2 = 5 ![]() x = ![]() ![]() ![]() x = ![]() ottengo le soluzioni ![]() ![]() x = ![]() sostituisco t=1 ![]() x2[1 - 3(1)2 + 2(1)] = 5 calcolo ![]() x2 · (0) = 5 Impossibile perche' nessun numero moltiplicato per zero da' 5 Da notare che per t=1 si annulla il denominatore che avevamo supposto diverso da zero quindi abbiamo le soluzioni
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