consideriamo determinanti un po' semplificati Vogliamo dimostrare che vale l'uguaglianza (scambio tra loro la seconda e la terza riga): a    b   c d    e    f g    h    i = - a    b   c g    h    i d    e    f Sviluppo il primo secondo la prima riga: a    b   c d    e    f g    h    i = a · e    f h    i - b· d    f g    i + c· d    e g    h = = a·(ei - fh) - b·(di - gf) + c·(dh - eg) = = aei - afh - bdi + bgf + cdh - ceg Sviluppo anche il secondo sempre con la prima riga: a    b   c g    h    i d    e    f = a · h    i e    f - b· g    i d    f + c· g    h d    e = = a·(fh - ei) - b·(gf - gdi) + c·(eg - dh) = = afh - aei - bgf + bdi + ceg - cdh se controlli sono gli stessi fattori del primo determinante ma col segno cambiato Come volevamo