Dimostrazione della formula risolutiva per i radicali doppi
Formula con il piu'
|
√(a + √b) = |
√ |
a +
√(a2 - b)
2 |
+
|
√ |
a -
√(a2 - b)
2 |
Per la dimostrazione elevo al quadrato il termine prima dell'uguale, elevo al quadrato l'espressione dopo l'uguale e confronto se i risultati sono uguali. Utilizziamo la formula con il piu' fra le due radici: con il segno meno cambiera' semplicemte di segno il doppio prodotto
-
elevo al quadrato l'espressione prima dell'uguale: il quadrato e la radice si annullano a vicenda
[√(a + √b)]2 = a + √b
- Elevo al quadrato l'espressione dopo l'uguale: si tratta del quadrato di un binomio
| [√
|
a +
√(a2 - b)
2 |
+ √
|
a -
√(a2 - b)
2 |
]2 =
|
| =
|
a +
√(a2 - b)
2 |
+
|
a -
√(a2 - b)
2 |
+2 √
|
a +
√(a2 - b)
2 |
· √
|
a -
√(a2 - b)
2 |
=
|
I primi due radicali hanno lo stesso denominatore ed inoltre sono uguali e di segno contrario, quindi li posso eliminare, inoltre nel doppio prodotto ho un prodotto notevole (x+y)(x-y)= x2-y2 quindi
| =
|
a
2 |
+
|
a
2 |
+ 2
|
√ |
a2-
(√(a2 - b)2
4 |
=
|
a/2+a/2 = a inoltre all'interno del radicale la radice sparisce con il quadrato
| =
|
a+ 2
|
√
|
a2-
( a2 - b)
4 |
=
|
| =
|
a+ 2
|
√
|
a2-
a2 +b
4 |
=
|
a+ 2
|
√
|
b
4 |
=
|
estraggo il 4 al denominatore e lo elimino con il 2 ed ottengo
| =
|
a+
|
2
2 |
√ b
|
= a + √b
|
come volevamo
Formula con il meno
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√(a - √b) = |
√ |
a +
√(a2 - b)
2 |
-
|
√ |
a -
√(a2 - b)
2 |
dimostriamo anche la seconda formula: come ti ho gia' detto nella dimostrazione cambia solamente il segno del doppio prodotto
-
elevo al quadrato l'espressione prima dell'uguale: il quadrato e la radice si annullano a vicenda
[√(a - √b)]2 = a - √b
- Elevo al quadrato l'espressione dopo l'uguale: si tratta del quadrato di un binomio
| [√
|
a +
√(a2 - b)
2 |
+ √
|
a -
√(a2 - b)
2 |
]2 =
|
| =
|
a +
√(a2 - b)
4 |
+
|
a -
√(a2 - b)
4 |
- 2 √
|
a -
√(a2 - b)
2 |
· √
|
a -
√(a2 - b)
2 |
=
|
I primi due radicali hanno lo stesso denominatore ed inoltre sono uguali e di segno contrario, quindi li posso eliminare, inoltre nel doppio prodotto ho un prodotto notevole (x+y)(x-y)= x2-y2 quindi
| =
|
a
2 |
+
|
a
2 |
- 2
|
√ |
a2-
(√(a2 - b)2
4 |
=
|
a/2+a/2 = a inoltre all'interno del radicale la radice sparisce con il quadrato
| =
|
a - 2
|
√
|
a2-
( a2 - b)
4 |
=
|
| =
|
a - 2
|
√
|
a2-
a2 +b
4 |
=
|
a - 2
|
√
|
b
4 |
=
|
estraggo il 4 al denominatore e lo elimino con il 2 ed ottengo
| =
|
a -
|
2
2 |
√ b
|
= a - √b
|
come volevamo
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