dimostrazione della derivata del prodotto di due funzioni

Dimostrazione della regola della derivata del prodotto di due funzioni Avvertenza: per una migliore visualizzazione metti la pagina a tutto schermo
Voglio dimostrare che se ho
y = f(x)· g(x)
allora ne segue
y' = f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
Parto dal rapporto incrementale per la funzione y = f(x)·g(x)
il rapporto incrementale vale:

             f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x)
lim_h->0   -------------------------- =
                           h
Pero' io so fare la derivata solo quando il rapporto incrementale mi coinvolge una sola funzione, quindi aggiungo e tolgo un termine in modo da spezzare quel rapporto incrementale in due rapporti incrementali: (se aggiungo e contemporaneamente tolgo la stessa quantita' l' espressione non mi canbia di valore)
             f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x + h) +f(x)·g(x + h) - f(x)·g(x)
lim_h->0   ----------------------------------------------------- =
                                      h
ora spezzo il limite in due limiti:
             f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x + h)                   f(x)·g(x + h) - f(x)·g(x)
lim_h->0   --------------------------- + lim_h->0  ------------------------- =
                                      h                                                           h
Per problemi di visualizzazione sullo schermo facciamo un limite per volta:

nel primo limite
             f(x + h)·g(x + h) - f(x)·g(x + h)
lim_h->0   ------------------------------- =
                                      h
posso mettere in evidenza g(x+h) ed ottengo il limite di un prodotto

                                  f(x + h) - f(x)
lim_h->0 g(x + h)· -------------------- =
                                            h
e posso fare il prodotto dei limiti:
                                                f(x + h) - f(x)
lim_h->0 g(x + h)· lim_h->0 -------------------- =
                                                         h
il primo limite quando h tende a zero vale g(x) ed il secondo e' f'(x) quindi
= g(x)·f'(x) = f'(x)·g(x)

nel secondo limite
             f(x)·g(x + h) - f(x)·g(x)
lim_h->0   ------------------------ =
                               h
posso mettere in evidenza f(x) ed ottengo il limite di un prodotto

                          g(x + h) - g(x)
lim_h->0 f(x)· -------------------- =
                               h
e posso fare il prodotto dei limiti:
                                       g(x + h) - g(x)
lim_h->0 f(x)· lim_h->0 -------------------- =
                                            h
il primo limite non dipende da h e vale f(x) ed il secondo e' g'(x) quindi
= f(x)·g'(x)

Raccogliendo i risultati l'espressione iniziale vale
= f'(x)·g(x) + f(x)·g'(x)
come volevamo