Trovare l'equazione degli asintoti per la funzione
           x5 - 1
y = ------------
         x3 - 4x
il campo di esistenza e' l'insieme di tutti i valori reali eccetto i valori x=-2, x=0 e x=2 per cui si annulla il denominatore
C.E. = ( -, -2[ U ] -2 , 0[ U ] 0 , +2[ U ]+2 , + )
calcolo i limiti nei punti di discontinuita':

  •                   x5 - 1
    limx->-2 -------- = 31/0 =
                     x3 - 4x
  •                   x5 - 1
    limx-> 0 -------- = -1/0 =
                     x3 - 4x
  •                   x5 - 1
    limx->+2 -------- = 31/0 =
                     x3 - 4x
quindi le rette
x = -2      x = 0      x=2
sono tre asintoti verticali
Per tracciare al meglio l'andamento della funzione vicino agli asintoti calcoliamo i limiti destro e sinistro della funzione nei punti di ascissa -2 , 0 e +2
    1. Per x tendente a -2
    • limite sinistro:
                         x5 -1
      limx->-2 - ---------- =
                       x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' piccolo di -2 (ad esempio -2,1 ) e fare il conto dei segni
        (- 2,1)5 -1
      ---------------------
      (- 2,1)3 - 4·(-2,1)
       il numeratore e' negativo come il denominatore quindi l'espressione e' positiva cioe'
                         x5 - 1
      limx-> -2 - ---------- = +
                       x3 - 4x
        
    • limite destro:
                         x5 - 1
      limx->-2 + ---------- =
                       x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' grande di -2 (ad esempio -1,9 ) e fare il conto dei segni
        (- 1,9)5 - 1
      ---------------------
      (- 1,9)3 - 4·(-1,9)
       il numeratore e' negativo mentre il denominatore e' positivo (4 e' maggiore di 1,9 al quadrato) quindi l'espressione e' negativa cioe'
                         x5 - 1
      limx->-2 + ---------- = -
                       x3 - 4x
      quindi il risultato e' quello della figura qui sotto

      limx->-2- f(x) = +    x=-2     limx->-2+ f(x) = -
    2. Per x tendente a 0
    • limite sinistro:
                         x5 -1
      limx-> 0 - ---------- =
                       x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' piccolo di 0 (ad esempio -0,1 ) e fare il conto dei segni
        (- 0,1)5 -1
      ---------------------
      (- 0,1)3 - 4·(-0,1)
       il numeratore e' negativo mentre il denominatore e' positivo quindi l'espressione e' negativa cioe'
                         x5 - 1
      limx-> 0 - ---------- = -
                       x3 - 4x
        
    • limite destro:
                         x5 - 1
      limx-> 0 + ---------- =
                       x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' grande di 0 (ad esempio +0,1 ) e fare il conto dei segni
        (0,1)5 - 1
      ---------------------
      (0,1)3 - 4·(0,1)
       il numeratore e' negativo come pure il denominatore quindi l'espressione e' positiva cioe'
                         x5 - 1
      limx-> 0 + ----------- = +
                       x3 - 4x
      il risultato e' quello della figura qui sotto

      limx-> 0- f(x) = -    x= 0     limx-> 0+ f(x) = +
    3. Per x tendente a +2
    • limite sinistro:
                             x5 - 1
      limx->+2 - ------------ =
                         x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' piccolo di 2 (ad esempio 1,9 ) e fare il conto dei segni
        ( 1,9)5 - 1
      ---------------------
      (1,9)3 - 4·(1,9)
       il numeratore e' positivo mentre il denominatore e' negativo quindi l'espressione e' negativa cioe'
                         x5 - 1
      limx->2 - ----------- = -
                       x3 - 4x
    • limite destro:
                         x5 - 1
      limx->2 + ----------- =
                       x3 - 4x
      per calcolare un limite di questo genere basta sostituire alla x un valore un pochino piu' grande di 2 (ad esempio 2,1 ) e fare il conto dei segni
        ( 2,1 )5 - 1
      ---------------------
      ( 2,1 )3 - 4·(2,1)
       il numeratore e' positivo come il denominatore quindi l'espressione e' positiva cioe'
                         x5 - 1
      limx->2 + ---------- = +
                       x3 - 4x
      il risultato e' quello della figura qui sotto

      limx->2- f(x) = -    x=2     limx->2+ f(x) = +
Per quanto riguarda l'asintoto orizzontale od obliquo possiamo dire che:
  • non esiste l'asintoto orizzontale perche' il limite per x tendente ad infinito vale infinito (se non sei convinto ripassa le forme indeterminate)
  • non puo' esistere l'asintoto obliquo perche' il numeratore supera di piu' di un grado il denominatore (vedi l'ultima parte dell' esercizio precedente )