Ti conviene porre la finestra sullo schermo al massimo Studiare la funzione: y = x3 - x2- 4x + 4 Per questa come per le altre funzioni cercheremo di utilizzare il maggior numero possibile di punti dello studio. Determinazione del Campo di esistenza Il campo di esistenza e' tutto l'asse reale: C.E. {x  R} Determinazione del tipo di funzione E' una funzione di tipo polinomiale Non e' ne' pari ne' dispari ne' periodica Intersezione con gli assi Faccio il sistema tra la funzione e l'asse delle x y = x3 - x2- 4x + 4 y = 0 x3 - x2- 4x + 4= 0 y = 0 Per risolvere l'equazione di terzo grado scompongo il polinomio associato x3 - x2- 4x + 4 = (x - 1)(x - 2)(x + 2) (x - 1)(x - 2)(x + 2)= 0 y = 0 Un prodotto e' zero quando uno dei fattori e' zero quindi pongo ognuno dei fattori uguali a zero x - 1 = 0 y = 0 x = 1 y = 0     prima soluzione x - 2 = 0 y = 0 x = 2 y = 0    seconda soluzione x + 2 = 0 y = 0 x = -2 y = 0     terza soluzione ho tre punti di intersezione con l'asse delle x: A( -2 , 0)    B( 1 , 0)    C( 2 , 0 ) Faccio il sistema tra la funzione e l'asse delle y y = x3 - x2- 4x + 4 x = 0 ad x sostituisco zero quindi la y sara' uguale al temine noto y = 4 x = 0 Il punto di intersezione con l'asse y e' D( 0 , 4 ) Valori agli estremi del campo di esistenza Essendo il campo di esistenza tutto R questo punto potrebbe essere saltato, comunque, per completezza, vediamo i valori a meno infinito e a piu'infinito limx->-  (x3 - x2- 4x + 4) = - limx->+  (x3 - x2- 4x + 4) = + Quindi la funzione inizia a sinistra da meno infinito e sparisce a destra a piu' infinito Positivita' e negativita' dobbiamo trovare i valori per cui la funzione e' maggiore di zero x3 - x2- 4x + 4 0 sostituisco alla funzione la scomposizione trovata prima (x - 1)(x - 2)(x + 2) 0 faccio il sistema x - 1 0 x - 2 0 x + 2 0 x 1 x 2 x -2 faccio lo schema x 1     - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + + x 2     - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (2) + + + + + + + x -2     - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + f(x)0    - - - - (-2) + + + + + (1) - - - - - - - - (2) + + + + + + + da meno infinito a meno 2 la funzione e' negativa tra meno 2 ed 1 la funzione e' positiva tra 1 e 2 la funzione e' negativa da 2 a piu' infinito la funzione e' positiva Nello schema a fianco ho segnato in verde scuro le zone che non contengono la funzione Determinazione degli asintoti Non esistono asintoti verticali perche' la funzione non ha punti di discontinuita' (il campo di esistenza e' tutto R) Non esistono asintoti orizzontali perche' per x tendente all'infinito la funzione tende ad infinito Non esistono asintoti obliqui perche' la funzione e' di terzo grado e quindi non puo' essere approssimata mediante una retta Determinazione della derivata prima faccio la derivata di y = x3 - x2- 4x + 4 y' = 3x2- 2x - 4 Crescenza e decrescenza pongo la derivata prima maggiore di zero per trovare le zone ove la funzione e' crescente 3x2- 2x - 4 0 equazione associata 3x2- 2x - 4 = 0 risolvo (formula ridotta)          -(-1) [(-1)2 - 3(-4)] x1,2 = ----------------------------------                  3          1 13 x1,2 = -----------------                  3 i valori sono          1 - 13 x1 = -----------------                  3          1 + 13 x2 = -----------------                  3 Non preoccupatevi; e' normale che vengano delle radici quindi non pensate di aver sbagliato i calcoli. il valore approssimato sara'   x1 = -0,8     x2= 1,2 Essendo il Delta maggiore di zero la disequazione sara' verificata per valori esterni all'intervallo delle radici cioe' per valori da meno infinito ad x1 la funzione e' crescente per valori da x1 ad x2 la funzione e' decrescente per valori da x2 a piu' infinito la funzione e' ancora crescente. Se osservate bene il risultato trovato corrisponde a quanto trovato con la positivita' della funzione, infatti nello studio di funzione i dati sono correlati e se sbagliate qualcosa ve ne accorgete subito, il problema pero' e' capire dove si e' sbagliato Determinazione dei Massimi e minimi siccome per valori da meno infinito ad x1 la funzione e' crescente e per valori da x1 ad x2 la funzione e' decrescente allora in x1 abbiamo un punto di massimo siccome per valori da x1 ad x2 la funzione e' decrescente e per valori da x2 a piu' infinito la funzione e' ancora crescente allora x2 e' un punto di minimo Ora bisogna fornirsi di pazienza e calcolare le coordinate del punto di massimo e del punto di minimo. Il risultato e' Coordinate del Massimo         1 - 13 x = ----------------- valore approssimato circa - 0,8                 3        70 + 2613 y = ------------------- valore approssimato circa 6,1           27 Coordinate del minimo         1 + 13 x = ----------------- valore approssimato circa + 1,5                 3        70 - 2613 y = ------------------- valore approssimato circa - 0,9           27 Se vuoi vedere i calcoli Determinazione della derivata seconda Partiamo dalla derivata prima y' = 3x2- 2x - 4 y" = 6x - 2 Determinazione della concavita', convessita' e flessi Pongo la derivata seconda maggiore di zero; dove la disequazione e' verificata avro' la concavita' verso l'alto dove la disequazione non e' verificata avro' la concavita' verso il basso dove la curva cambia di concavita' avro' un flesso y" = 6x - 2 0 6x 2 x 2/6 x 1/3 quindi per x 1/3 la concavita' e' verso l'alto per x 1/3 la concavita' e' verso il basso in x = 1/3 avro' il flesso F(1/3 , 70/27) Determinazione di eventuali ulteriori punti appartenenti alla funzione Non ci servono punti aggiuntivi Grafico della funzione Ora mettiamo in un grafico tutti i dati trovati Poi partendo da meno infinito congiungo i punti con una riga continua (nera)