terzo tipo Devo risolvere Ax + B ------------------ dx = x2 + px + q voglio che al denominatore vi sia un termine al quadrato, perche' con i termini al quadrato ho alcuni integrali che so risolvere: x2 e' il quadrato del primo termine, px sara' il doppio prodotto quindi devo aggiungere [e togliere] (p2/4) p2 p2 = x2 + px + ---- - ---- + q = 4 4 quindi ottengo p p2 = (x + ---- )2 + q - ---- = 2 4 [q - (p2/4)] e' una costante positiva quindi possiamo chiamarla k2 ed ottengo: p x2 + px + q = (x + ---- )2 + k2 2 Ora cerco di trasformare il numeratore in modo che vi compaia la derivata del denominatore iniziale [2x + p] (in questo modo potro' poi dividere l'integrale in due integrali piu' semplici Al numeratore pongo: Ax + B = A = --- (2x) + B = 2 per avere la derivata (a meno del fattore A/2) devo aggiungere e togliere (Ap)/2 A A A = --- (2x) + B + --- p - --- p = 2 2 2 A A = --- (2x + p) + B - --- p 2 2 Quindi posso scrivere (A/2)(2x + p) + B -(A/2)p = ------------------------------- dx = x2 + px + q spezzo l'integrale (A/2)(2x + p) B -(A/2)p = --------------------- dx + ---------------------- dx = x2 + px + q x2 + px + q Estraggo le costanti e nel secondo integrale sostituisco il denominatore con l'espressione trovata prima A 2x + p A 1 = --- --------------------- dx + (B - ---- p) ---------------------- dx = 2 x2 + px + q 2 (x + p/2)2 + K2 E questi due integrali so risolverli: il primo e' immediato di tipo logaritmo, il secondo lo avevamo gia' calcolato Il primo: A 2x + p A = --- --------------------- dx = --- log(x2 + px + q) 2 x2 + px + q 2 il secondo: A 1 = (B - ---- p) ---------------------- dx = 2 (x + p/2)2 + k2 A 1 x + p/2 = (B - ---- p) --- arctang ------------ = 2 k k Ricordando che k2 = q - (p2/4) ottengo        Calcoli 2B-Ap 2x+p = -------------- arctang -------------- (4q-p2) (4q-p2) Ottengo quindi la formula finale Ax+B A 2B-Ap 2x+p ------------- dx = --- log(x2+px+q) + ----------- arctang ----------- + c x2+px+q 2 (4q-p2) (4q-p2)