Volume della sfera

Vediamo come trovare il volume della sfera:

consideriamo la circonferenza di centro l'origine e raggio r (x2 + y2 = r2) e consideriamo sull'asse x l'intervallo da -r ad r; troveremo il volume della sfera di raggio r
Esplicitiamo la y
y2 = r2 - x2
y = (r2 - x2)
Il piu' e meno significa che sono considerate sia la semicirconferenza sopra l'asse x che quella sotto l'asse x: a noi ne basta una; consideriamo la semicirconferenza sopra l'asse delle x
y = (r2 - x2)

Applico la formula ricordando che il quadrato e la radice si annullano reciprocamente

v = [f(x)]2 dx = (r2 - x2)dx = r2 x  -  x3
----
3
=
= ( r3 - r3
----
3
+ r3 - r3
----
3
) = 4
 ---- 
3
r3