Equazione della parabola con asse parallelo all'asse y


Consideriamo l'equazione della parabola con vertice nell'origine O,
Y = aX2
Spostiamo la nuova origine degli assi nel punto
b b2 - 4 ac
O' = -----  ;  ---------------
2a 4a
O',
faremo quindi la traslazione di coordinate
b
X = x + ----
2a
b2 - 4ac
Y = y + ----------
4a
sostituiamo nell'equazione di partenza
b2 - 4ac b 2
y + -------------- = a x + ----
4a 2a
sviluppo il quadrato e semplifico il 2 nel doppio prodotto
b2 - 4ac 2bX / b2
y + -------------- = a x2 + -------  + -------
4a 2a/ 4a2
moltiplico al secondo termine per a e semplifico ove possibile
b2 - 4ac abX / ab2/
y + -------------- = a x2 + -------  + -------
4a a/ 4a2/
ottengo
b2 - 4ac b2
y + -------------- = ax2 + bx + -------
4a 4a
Faccio il m.c.m. = 4a
4ay + b2 - 4ac 4a2x2 + 4abx + b2
---------------------- = ---------------------
4a 4a
Tolgo il denominatore ed elimino quello che posso
4ay + b2/ - 4ac = 4a2x2 + 4abx + b2/
4ay = 4a2x2 + 4abx + 4ac
Ora divido tutti i termini per 4a ed ottengo la formula finale

y = ax2 + bx + c

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