Condizioni utilizzando le coordinate del fuoco

Anche il fuoco, come il vertice, da' luogo a due condizioni
Se abbiamo le coordinate del fuoco
F = ( x0 , y0)
della generica parabola
y = ax2 + bx + c
sapendo che tale parabola ha fuoco
b 1 b2 - 4 ac
V = - ----- ;   ---- - ---------------
2a 4a 4a

allora possiamo scrivere le due condizioni eguagliando le coordinate omonime
  • prima condizione
    b
    x0 = - -----  
    2a
  • seconda condizione
    1 b2 - 4 ac
    y0 =   ----- - ---------------  
    4a 4a
Vediamo un esempio:
Calcolare le condizioni per cui la parabola
y = ax2 + bx + c
ha il fuoco nel punto   F ( 2, 3)
  • prima condizione
    b
    2 = - -----  
    2a

    moltiplico tutto per 2a (cioe' faccio il m.c.m. e semplifico)
    4a = - b
    4a + b = 0
  • seconda condizione
    1 b2 - 4 ac
    3 =   -------   - ---------------  
    4a 4a
    moltiplico tutto per 4a (cioe' faccio il m.c.m. e semplifico)
    Attenzione: il meno e' davanti alla linea di frazione quindi anche 4ac cambia di segno
    12a = 1 - b2 + 4ac
    b2 + 12a - 4ac = 1