esercizio Date le parabole y= x2 - 2x e y= -x2 + 2x trovare le equazioni delle tangenti nei punti comuni alle due parabole e dire quale tipo di figura individuano tali tangenti Soluzione: prima disegniamo le due parabole e, facendolo, abbiamo trovato che i punti di intersezione sono O=(0,0)        A=(2,0) dovremo trovare 4 tangenti: due alla prima parabola nei punti O ed A e due alla seconda sempre negli stessi punti Tangente alla parabola y= x2 - 2x nell'origine ricordando l'osservazione del problema 0 sulle tangenti di una curva in un suo punto possiamo scrivere y = - 2x Tangente alla parabola y= x2 - 2x nel punto A=(2,0) considero il fascio di rette passante per il punto A y - 0 = m(x-2) y = mx - 2m Faccio il sistema fra il fascio di rette e la parabola y = mx - 2m y= x2 - 2x Sostituisco il valore della y dalla prima equazione nella seconda ed ottengo l'equazione risolvente mx - 2m = x2 - 2x 0 = x2 - 2x - mx + 2m meglio x2 - 2x - mx + 2m = 0 usando la proprieta' riflessiva dell'uguaglianza: se a=b anche b=a raccolgo ad equazione di secondo grado x2 - x(2+m) + 2m = 0 questa e' l'equazione risolvente il sistema: per avere due soluzioni coincidenti devo porre il delta dell'equazione uguale a zero = b2-4ac = 0 Ho a = 1       b = -(2+m)       c = 2m = b2-4ac = [-(2+m)]2 - 4 (1)(2m) =0 4 + 4m + m2 - 8m = 0 Se non seiconvinto dei segni del quadrato ferma il mouse sul risultato calcolo m2 - 4m + 4 = 0 Come ti avevo detto e' un quadrato perfetto (essendo il punto di tangenza formato da due punti sovrapposti in cui calcolare le tangenti la soluzione e' doppia); risolvo ed ottengo: (m - 2)2 = 0 m = 2 (doppia) Ho quindi la tangente y = 2x - 4 Tangente alla parabola y= -x2 + 2x nell'origine ricordando l'osservazione del problema 0 sulle tangenti di una curva in un suo punto possiamo scrivere y = 2x Tangente alla parabola y= -x2 + 2x nel punto A=(2,0) considero il fascio di rette passante per il punto A y - 0 = m(x-2) y = mx - 2m Faccio il sistema fra il fascio di rette e la parabola y = mx - 2m y= -x2 + 2x Sostituisco il valore della y dalla prima equazione nella seconda ed ottengo l'equazione risolvente mx - 2m = - x2 + 2x x2 - 2x + mx -2m = 0 x2 - x(2-m) - 2m = 0 questa e' l'equazione risolvente il sistema: per avere due soluzioni coincidenti devo porre il delta dell'equazione uguale a zero = b2-4ac = 0 Ho a = 1       b = -(2-m)       c = -2m = b2-4ac = [-(2-m)]2 - 4 (1)(-2m) =0 4 - 4m + m2 + 8m = 0 Se non seiconvinto dei segni del quadrato ferma il mouse sul risultato calcolo m2 + 4m + 4 = 0 Come ti avevo detto e' un quadrato perfetto (essendo il punto di tangenza formato da due punti sovrapposti in cui calcolare le tangenti la soluzione e' doppia); risolvo ed ottengo: (m + 2)2 = 0 m = -2 (doppia) Ho quindi la tangente y = -2x + 4 Ora se osservo le equazioni delle tangenti y = -2x y = 2x - 4 y = 2x y = -2x + 4 vedo che le rette hanno due a due gli stessi coefficienti angolari, cioe' y = -2x    e    y = -2x + 4 sono tra loro parallele (coefficienti angolari m1 = m2 = -2) y = 2x - 4    e    y = 2x sono tra loro parallele (coefficienti angolari m1 = m2 = 2) Pertanto, senza procedere oltre posso dire che il quadrilatero, avendo i lati due a due paralleli e' un parallelogramma. Per continuare l'esercizio prova a dimostrare che si tratta di un rombo seguendo la definizione