Se in un triangolo l'altezza, la mediana e la bisettrice condotte dal vertice opposto alla base sono coincidenti allora il triangolo e' isoscele


posso anche prendere per ipotesi che coincidono altezza e mediana
oppure prendere per ipotesi che coincidono altezza e bisettrice
od anche prendere per ipotesi che coincidono mediana e bisettrice
in tutti e tre i casi il triangolo sara' isoscele; Quindi ho tre possibili dimostrazioni
  1. Prendiamo per ipotesi che coincidano altezza e mediana
    Ipotesi
    AHB=AHC=angolo retto BH=HC
    Tesi
    AB=AC
    Dimostrazione: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno
    gli angoli ABH=AHC perche' retti
    BH=HC per ipotesi
    AH in comune
    Quindi i due triangoli sono congruenti per il primo criterio ed in particolare avremo i lati AB ed AC congruenti fra loro

  2. Prendiamo per ipotesi che coincidano altezza e bisettrice
    Ipotesi
    AHB=AHC=angolo retto, angoli BAH=HAC
    Tesi
    AB=AC
    Dimostrazione: considero i triangoli ABH ed AHC essi hanno
    gli angoli ABH=AHC perche' retti
    BAH=HAC per ipotesi
    AH in comune
    Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio ed in particolare avremo i lati AB ed AC congruenti fra loro

  3. Prendiamo per ipotesi che coincidano mediana e bisettrice
    Ipotesi
    BH=HC angoli BAH=HAC
    Tesi
    AB=AC
    Dimostrazione: opero un ribaltamento del semipiano sinistro rispetto alla retta AH contenente il lato AB attorno alla retta AH: siccome gli angoli BHA ed AHC sono congruenti avremo che la semiretta AB si posizionera' sulla semiretta AC e siccome sono congruenti anche i segmenti BH e HC e BHC e' un angolo piatto nel ribaltamento il segmento AB coincidera' esattamente con il segmento AC ed il punto B si trasferira' sul punto C come volevamo