Dimostrazione Mostriamo che se due proporzioni diverse hanno lo stesso rapporto di proporzionalita' allora posso sommarle termine a termine Due proporzioni hanno lo stesso rapporto di proporzionalita' significa che se semplifico le proporzioni numeriche corrispondenti ottengo sempre la stessa frazione: ad esempio le proporzioni 2 : 4 = 3 : 6 e 5 : 10 = 4 : 8 hanno lo stesso rapporto di proporzionalita' ½ perche' se semplifico le frazioni 2 4 = 3 6 e 5 10 = 4 8 ottengo ½ = ½ sia per la prima che per la seconda proporzione le proporzioni precedenti BH : B'H' = AH : A'H'     e     HC : H'C' = AH : A'H' avendo i conseguenti uguali hanno certamente lo stesso rapporto di proporzionalita' dimostriamo che se prendiamo due proporzioni aventi lo stesso rapporto di proporzionalita' allora anche la loro somma termine a termine e' ancora una proporzione con lo stesso rapporto di proporzionalita' Supponiamo che il rapporto di proporzionalita' sia h/k, allora presi a, b, c e d numeri reali avremo ah ak = bh bk      e      ch ck = dh dk sommo termine a termine ah+bh ak+bk = ch+dh ck+dk eseguo il raccoglimento a fattor comune in ogni termine h(a+b) k(a+b) = h(c+d) k(c+d) Se ora semplifico ottengo h/k = h/k che e' lo stesso rapporto di proporzionalita' delle proporzioni iniziali, cioe' la proporzione e' valida