esercizio

Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme Z dei numeri interi con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·)
E' l'esempio piu' semplice perche' e' quello da cui abbiamo ricavato la struttura di anello, ma questo esempio ci servira' soprattutto per mostrare come bisogna procedere per mostrare la struttura ad anello su un qualunque altro insieme

Dimostrazione:
dovremo mostrare:
  • la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
  • la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
  • il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( Z, +) e' un gruppo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti chiamati a e b due elementi di Z allora anche c = a+b appartiene a Z

    • + e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di Z abbiamo:
      (a + b) + c = a + ( b + c)
      infatti presi 3 numeri abbiamo sempre
      2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4
      2 + 7 = 5 + 4
      9 = 9
      cioe' il primo membro e' uguale al secondo

    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 0 tale che per ogni elemento a di Z abbiamo
      a + 0 = 0 + a = a cioe' per qualunque numero, ad esempio 3, vale sempre
      3 + 0 = 0 + 3 = 3

    • ogni elemento a di Z possiede in + l'elemento simmetrico a' tale che:
      a + a' = a' + a = 0
      Infatti dato un numero basta considerare lo stesso numero con segno contrario; es:
      3 + (-3) = (-3) + 3 = 0

    Quindi ( Z, +) e' un gruppo; inoltre il gruppo e' commutativo perche' per ogni elemento a e b appartenenti a Z avemo che vale
    a + b = b +a

  • Mostriamo che ( Z, ·) e' un semigruppo
    • Basta mostrare che · e' associativa, cioe' chiamati a, b e c tre elementi di Z abbiamo:
      (a · b) · c = a · ( b · c) infatti presi 3 numeri abbiamo sempre
      2 · (3 · 4) = (2 · 3) · 4
      2 · 12 = 6 · 4
      24 = 24
    Quindi ( Z, ·) e' un semigruppo

  • Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati a, b e c appartenenti a Z avremo sempre
    a · (b + c) = a · b + a · c
    (b + c) · a = b · a + c · a

    infatti prendendo 3 numeri qualunque avremo:

    2 · (3 + 4) = 2 · 3 + 2 · 4
    2 ·7 = 6 + 8
    14 = 14

    (3 + 4) · 2 = 3 · 2 + 4 · 2
    7 · 2 = 6 + 8
    14 = 14

Quindi la struttura ( Z, +, ·) e' un anello

Siccome la moltiplicazione in Z e' commutativa avremo che l'anello e' commutativo

Poiche' la moltiplicazione in Z ha come elemento neutro l'elemento 1 l'anello e' unitario