esercizio Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme composto da due elementi A = {p, d } con p indicante i numeri pari e d indicante i numeri dispari con le operazioni di addizione (+) e moltiplicazione (·) E' l'anello piu' semplice che possiamo pensare: composto da due soli elementi: tale insieme e' inoltre isomorfo (fare link) all'insieme dei resti modulo 2 (basta porre p = 0 e d = 1) Dimostrazione: dovremo mostrare: la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione la presenza di un semigruppo con la seconda operazione il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima Cominciamo dal primo punto Mostriamo che ( A, +) e' un gruppo; devono valere le proprieta': + e' interna infatti avremo sempre che p + p = p          p + d = d          d + d = p e tutti i risultati apaprtengono ad A Se non hai capito ferma il mouse su una delle somme + e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a + b) + c = a + ( b + c) Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita' Veramente potrei fare ricorso al fatto che la somma e la moltiplicazione hanno qui le stesse proprieta' che hanno nell'insieme dei numeri naturali essendo in questo insieme una restrizione di tali operazioni, pero' come esercizio proviamo a sviluppare tutto il ragionamento (p + p) + p = p + ( p + p) (p + p) + d = p + ( p + d) (p + d) + p = p + ( d + p) (d + p) + p = d + ( p + p) (p + d) + d = p + ( d + d) (d + p) + d = d + ( p + d) (d + d) + p = d + ( d + p) (d + d) + d = d + ( d + d) e in tutte queste espressioni il primo membro e' uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita' dell'ultima espressione sviluppando il primo membro ed il secondo membro e controllando che il risultato sia identico (d + d) + d = p + d = d d + (d + d) = d + p = d ottengo lo stesso risultato + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento p tale che per ogni elemento di A abbiamo p + p = p p + q = q cioe' sommando p a qualunque elemento l'altro elemento non cambia ogni elemento di A possiede in + l'elemento simmetrico: infatti p + p = p e p e' simmetrico di se' stesso d + d = p e d e' simmetrico di se' stesso Quindi ( A, +) e' un gruppo; inoltre il gruppo e' commutativo perche' per ogni elemento p e q appartenente a A avemo che vale p + q = q + p Mostriamo che ( A, ·) e' un semigruppo Basta mostrare che · e' associativa, cioe' chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo: (a · b) · c = a · ( b · c) Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita' (p · p) · p = p · ( p · p) (p · p) · d = p · ( p · d) (p · d) · p = p · ( d · p) (d · p) · p = d · ( p · p) (p · d) · d = p · ( d · d) (d · p) · d = d · ( p · d) (d · d) · p = d · ( d · p) (d · d) · d = d · ( d · d) e in tutte queste espressioni il primo membro e' uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita' dell'ultima espressione (d · d) · d = d · d = d d · (d · d) = d · d = d Quindi ( A, ·) e' un semigruppo Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati a, b e c appartenenti a A avremo sempre a · (b + c) = a · b + a · c (b + c) · a = b · a + c · a Per mostrarlo dovrei considerare le possibilita' p · ( p + p) = p · p + p · p p · ( p + d) = p · p + p · d p · ( d + p) = p · d + p · p d · ( p + p) = d · p + d · p p · ( d + d) = p · d + p · d d · ( p + d) = d · p + d · d d · ( d + p) = d · d + d · p d · ( d + d) = d · d + d · d ed anche le commutate rispetto al · (p + p) · p = p · p + p · p (p + d) · p = p · p + d · p (d + p) · p = d · p + p · p (p + p) · d = p · d + p · d (d + d) · p = d · p + d · p (p + d) · d = p · d + d · d (d + p) · d = d · d + p · d (d + d) · d = d · d + d · d e in tutte queste espressioni il primo membro e' uguale al secondo: mostriamo come esempio la dimostrazione della validita' dell'ultima espressione (d + d) · d = p · d = p d · (d + d) = d · p = p Quindi la struttura ( A, +, ·) e' un anello Siccome la moltiplicazione in A e' commutativa avremo che l'anello e' commutativo Poiche' la moltiplicazione in A ha come elemento neutro l'elemento d l'anello e' unitario: d e' l'elemento neutro moltiplicativo perche' moltiplicando d per qualunque altro termine l'altro termine non cambia: d · d = d          d · p = p