esercizio

Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme r5, insieme dei resti modulo 5 con le relative operazioni di addizione () e moltiplicazione ()
Per ripassare l'insieme r5
Dimostrazione:
dovremo mostrare:
  • la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
  • la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
  • il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima
Cominciamo dal primo punto
La struttura di gruppo addittivo (r5 , ) l'abbiamo gia' evidenziata in precedenza ma qui la ripetiamo
0 1 2 3 4
0 0 1 2 3 4
1 1 2 3 4 0
2 2 3 4 0 1
3 3 4 0 1 2
4 4 0 1 2 3


  • Mostriamo che ( r5, ) e' un gruppo; devono valere le proprieta':

    • e' interna infatti avremo sempre che la somma di due termini qualunque e' ancora un termine della tabella
      esempio: 4 2 = (6)5 = 1
      se fermi il cursore del mouse su una casella della tabella ti viene mostrata l'operazione relativa

    • e' associativa, infatti chiamati a5, b5 e c5 tre elementi di r5 abbiamo:
      (a5 b5) c5 = a5 (b5 c5)
      facciamo anche qui un esempio pratico:
      (3 2) 4 = (5)5 4 = 0 4 = 4
      ma vale anche
      3 (2 4) = 3 (6)5 = 3 1 = 4

    • 0 e' l'elemento neutro: infatti sommando qualunque elemento con 0 otteniamo sempre lo stesso elemento
      0 1 = 1 0 = 1
      0 2 = 2 0 = 2
      0 3 = 3 0 = 3
      0 4 = 4 0 = 4

    • ogni elemento di r5 possiede in l'elemento simmetrico: infatti hai:
      0 0 = 0
      1 4 = 4 1 = (5) 5 = 0
      2 3 = 3 2 = (5)5 = 0


  • Quindi ( r5, ) e' un gruppo'; la commutativita segue dal fatto che la tabella per l'addizione e' simmetrica rispetto alla diagonale principale;

  • Mostriamo che ( r5, ) e' un semigruppo
    • Basta mostrare che e' associativa, cioe' chiamati a5, b5 e c5 tre elementi di r5 abbiamo sempre:
      (a5 b5) c5 = a5 (b5 c5)
      questo discende dalla moltiplicazione fra numeri naturali, ma vediamone un esempio pratico
      (3 2) 4 = (6)5 4 = 1 4 = 4
      3 (2 4) = 3 (8)5 = 3 9 = (9)5 = 4
      per vederlo meglio ti ripeto la tabella di Cayley per la moltiplicazione: se vai sui risultati con il mouse vedi l'operazione svolta.
      0 1 2 3 4
      0 0 0 0 0 0
      1 0 1 2 3 4
      2 0 2 4 1 3
      3 0 3 1 4 2
      4 0 4 3 2 1


  • Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati a5, b5 e c5 appartenenti a r5 avremo sempre
    a5 (b5 c5) = a5 b5 a5 c5
    (b5 c5) a5 = b5 a5 c5 a5

    ti faccio un esempio sulla prima: mostro che se eseguo l'operazione oppure se applico la proprieta' distributiva ottengo lo stesso risultato;
    fai un esempio anche tu sulla seconda per esercizio
    4 (1 3) =
    se eseguo la somma ottengo
    4 (1 3) = 4 4 = (16)5 = 1
    se prima applico la proprieta' distributiva e poi faccio la somma ottengo
    4 (1 3) = 4 1 4 3 = 4 (12)5 = 4 2 = (6)5 = 1

Quindi la struttura ( r5,, ) e' un anello

Inoltre siccome la moltiplicazione in r5 e' commutativa avremo che l'anello e' commutativo

Poiche' 1 elemento neutro della moltiplicazione in r5 e' unico l'anello e' unitario