esercizio

Mostrare la presenza della struttura ad anello per l'insieme P(A) insieme potenza dell'insieme A con le operazioni di differenza simmetrica ed intersezione

Per ripassare      l'insieme P(A)             la differenza simmetrica             l'intersezione
Dimostrazione:
dovremo mostrare:
  • la presenza di un gruppo commutativo con la prima operazione
  • la presenza di un semigruppo con la seconda operazione
  • il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( P(A),) e' un gruppo; devono valere le proprieta':

    • e' interna: avremo sempre che la differenza simmetrica di due elementi di P(A) e' sempre ancora un elemento di P(A)
      Infatti P(A) e' costituito da tutti i sottoinsiemi di A cioe' gli insiemi che posso costruire con gli elementi di A, insieme vuoto compreso, quindi se da due sottoinsiemi tolgo alcuni elementi dell'insieme A avremo ancora un sottoinsieme di A

    • e' associativa, infatti chiamati A1, A2 e A3 tre elementi di P(A) abbiamo:
      (A1 A2) A3 = A1 ( A2 A3)
      Infatti siccome la differenza simmetrica toglie elementi da entrambe gli insiemi che coinvolge, sia che li tolga prima o dopo, quando coinvolge gli stessi insiemi da' sempre lo stesso risultato
      mostriamolo anche su un esempio pratico:
      Considero l'insieme A = { Ø, 1, 2, 3, 4 }
      Allora l'insieme potenza e' l'insieme composto dagli elementi
         { Ø }    { 1 }    { 2 }    { 3 }    { 4 }
         { 1, 2 }    { 1 3 }    { 1 4 }    { 2, 3 }    { 2, 4 }    { 3, 4 }
         { 1, 2, 3 }    { 1, 2, 4 }    { 1, 3, 4 }    { 2, 3, 4 }
         { 1, 2, 3, 4 }

      Consideriamo:
      A1 = { 1, 2, 4 }    A2 = { 1, 3, 4 }    A3 = { 1, 4 }
      (A1 A2) A3 = A1 ( A2 A3)
      per mostrarlo facciamo i calcoli prima e dopo l'uguale e mostriamo che i risultati sono uguali:
      ({ 1, 2, 4 } { 1, 3, 4 }) { 1, 4 } = { 3 } { 1, 4 } = { 1, 3, 4 }
      { 1, 2, 4 } ( { 1, 3, 4 } { 1, 4 }) = { 1, 2, 4 } { 3 } = { 1, 3, 4 }


    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento Ø, cioe' il sottoinsieme vuoto e la differenza simmetrica fra l'insieme vuoto e qualsiasi sottoinsieme e' sempre lo stesso sottoinsieme
      AnØ = Ø An = An

    • ogni elemento An di P(A) possiede in l'elemento simmetrico: basta considerare l'insieme complementare di An rispetto ad A perche' la differenza simmetrica dia come risultato l'insieme vuoto
      se ad esempio considero l'insieme { 1, 2 } il suo complementare rispetto ad A sara { 3, 4 } e facendo la differenza complementare avremo che spariscono tutti gli elementi e resta il vuoto
      { 1, 2 } { 3, 4 } = { 3, 4 } { 1, 2 } = Ø


    Quindi ( P(a), ) e' un gruppo; la commutativita' deriva dal fatto che l'operazione restituisce gli elementi non comuni fra due insiemi, quindi e' indifferente l'ordine in cui li considero

Mostriamo che ( P(A), ) e' un semigruppo
  • Basta mostrare che e' associativa, cioe' chiamati A1, A2 e A3 tre elementi di P(x) abbiamosempre:
    (A1 A2) A3 = A1 (A2 A3)
    Infatti, poiche' l'operazione intersezione fr insiemi restituisce gli elementi che gli insiemi hanno in comune, in qualunque ordine considereremo i 3 insiemi avremo sempre lo stesso risultato (cioe' gli elementi comuni ai 3 insiemi)

  • Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati A1, A2 e A3 appartenenti a P(A) avremo sempre
    A1 (A2 A3] = A1 A2 A1 A3
    (A2 A3] A1 = A2 A1 A3 A1

    Questo e' un po' difficile da dimostrare: limitiamoci amostrare che e' vero su un esempio
    Consideriamo i tre insiemi
       A1 = { 1, 2, 4 }    A2 = { 1, 3, 4 }    A3 = { 2, 4 }
    mostriamo che, nella prima uguaglianza sono uguali i risultati sviluppando prima dell'uguale e dopo l'uguale
    Prima dell'uguale:
    { 1, 2, 4 } ({ 1, 3, 4 } { 2, 4 }) = { 1, 2, 4 } { 1, 2, 3 } = { 1, 2 }
    dopo l'uguale
    { 1, 2, 4 } { 1, 3, 4 } { 1, 2, 4 } { 2, 4 } = { 1, 4 } { 2, 4 } { 1, 2 }


Quindi la struttura ( P(A), , ) e' un anello

Siccome l'operazione in P(A) e' commutativa avremo che l'anello e' commutativo

Poiche' l'intersezione in A ha come elemento neutro l' insieme A stesso e tale elemento e' definito in modo univoco allora posso parlare di un solo elemento neutro e l'anello e' unitario