esercizio

Verificare la presenza delle strutture di corpo e di campo sull' insieme r2 dei resti modulo 2 con le operazioni di addizione e moltiplicazione

Sara' il campo piu' semplice che possiamo pensare: composto da due soli elementi.

Dimostrazione:
dovremo mostrare per il corpo:
  • la presenza di un gruppo commutativo con la somma
  • la presenza di un gruppo con il prodotto escludendo l'elemento neutro per l'addizione (lo zero)
  • il fatto che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima
  • per il campo aggiungeremo la dimostrazione della commutativita' della seconda operazione
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( r2, +) e' un gruppo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti avremo sempre che
      0 + 0 = 0          0 + 1 = 1 + 0 = 1          1 + 1 = (2)2 = 0
      tutti i risultati appartengono ad A inoltre l'operazione e' commutativa perche' scambiando l'ordine dei fattori il risultato e' lo stesso
      Se non hai capito ferma il mouse sulla terza somma

    • + e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo:
      (a + b) + c = a + ( b + c)
      Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita'
      (0 + 0) + 0 = 0 + ( 0 + 0) = 0
      (0 + 0) + 1 = 0 + ( 0 + 1) = 1
      (0 + 1) + 0 = 0 + ( 1 + 0) = 1
      (1 + 0) + 0 = 1 + ( 0 + 0) = 1
      (0 + 1) + 1 = 0 + ( 1 + 1) = (2)2 = 0
      (1 + 0) + 1 = 1 + ( 0 + 1) = (2)2 = 0
      (1 + 1) + 0 = 1 + ( 1 + 0) = (2)2 = 0
      (1 + 1) + 1 = 1 + ( 1 + 1) = (3)2 = 1

    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 0 tale che per ogni elemento di r2 abbiamo
      0 + 0 = 0
      0 + 1 = 1 + 0 = 1
      cioe' sommando 0 a qualunque elemento l'altro elemento non cambia


    • ogni elemento di r2 possiede in + l'elemento simmetrico: infatti
      0 + 0 = 0 e 0 e' simmetrico di se' stesso
      1 + 1 = 0 e 1 e' simmetrico di se' stesso


    Quindi ( r2, +) e' un gruppo commutativo;

  • Mostriamo che ( r2, ·) e' un gruppo; devono valere le proprieta':
    • · e' interna infatti avremo sempre che
      0 · 0 = 0          0 · 1 = 1 · 0 = 1          1 · 1 = 1
      tutti i risultati appartengono ad r2 inoltre l'operazione e' commutativa (scambiando i posti il risultato del prodotto e' lo stesso)

    • · e' associativa, infatti chiamati a, b e c tre elementi di A abbiamo:
      (a · b) · c = a · ( b · c)
      Per mostrarlo posso considerare le 8 possibilita'
      (0 · 0) · 0 = 0 · ( 0 · 0) = 0
      (0 · 0) · 1 = 0 · ( 0 · 1) = 0
      (0 · 1) · 0 = 0 · ( 1 · 0) = 0
      (1 · 0) · 0 = 1 · ( 0 · 0) = 0
      (0 · 1) · 1 = 0 · ( 1 · 1) = 0
      (1 · 0) · 1 = 1 · ( 0 · 1) = 0
      (1 · 1) · 0 = 1 · ( 1 · 0) = 0
      (1 · 1) · 1 = 1 · ( 1 · 1) = 1


    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 1 tale che per ogni elemento di r2 abbiamo
      1 · 1 = 1
      0 · 1 = 1 · 0 = 0
      cioe' moltiplicando 1 a qualunque elemento l'altro elemento non cambia


    • ogni elemento di r2 ad eccezione di 0 possiede in · l'elemento simmetrico: infatti, togliendo 0 ci resta solo 1 e poiche'
      1 · 1 = 1
      allora 1 e' elemento simmetrico di se' stesso rispetto alla moltiplicazione

  • Mostriamo infine che la seconda operazione e' distributiva rispetto alla prima, cioe' dati a, b e c appartenenti a r2 avremo sempre
    a · (b + c) = a · b + a · c
    (b + c) · a = b · a + c · a


    Per mostrarlo dovrei considerare le 16 possibilita', ma preferisco dire che deriva dalla distributivita' del prodotto rispetto alla somma che vale nell'insieme dei numeri naturali

Quindi la struttura ( r2, +, ·) e' un campo

Infatti abbiamo visto che la moltiplicazione in r2 e' commutativa