esercizio

Individuare la struttura di spazio vettoriale per l'insieme C dei numeri complessi sul corpo R con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione in C e con la moltiplicazione scalare RC numero reale per numero complesso
E' l'esempio piu' semplice perche' e' quello da cui abbiamo ricavato la struttura di spazio: questo esempio ci servira' soprattutto per mostrare come bisogna procedere per mostrare la struttura di spazio vettor iale su un qualunque altro insieme

Dimostrazione:
dovremo mostrare che abbiamo
  • la presenza di un gruppo commutativo su C con la somma fra complessi
  • la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R) R · C
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
  • la proprieta' associativa fra gli scalari
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( C, +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti chiamati a+ib e c+id due elementi di C allora anche
      e+if = (a+ib) + (c+id) appartiene a C
      infatti
      (a+ib) + (c+id) = a+ib + c+id = (a+c) + i(b+d) = e + if
      essendo e = a+c ed f = b+d
      Se non e' chiaro ferma il mouse sull'operazione

    • + e' associativa, infatti chiamati a+ib, c+id e e+if tre elementi di C abbiamo:
      (a+ib + c+id) + e+if = a+ib + (c+id + e+if)
      siccome dobbiamo sommare le parti reali con le parti reali e, per le parti immaginarie, dobbiamo mettere in evidenza la i per poi sommare i numeri reali entro parentesi, allora l'associativita' deriva dal fatto che la somma in R e' associativa

    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento 0+i0 tale che per ogni elemento a+ib di C abbiamo
      a+ib + 0+i0 = 0+i0 + a+ib = a+ib


    • ogni elemento a+ib di C possiede in + l'elemento simmetrico -a-ib tale che:
      a+ib + (-a-ib) = (-a-ib) + a+ib = 0+i0
      Infatti dato un numero complesso basta considerare lo stesso numero con segni opposti;


    Quindi ( C, +) e' un gruppo; inoltre tale gruppo e' commutativo perche' presi comunque due elementi a+ib e c+id di C vale sempre
    a+ib + c+id = (a+c)+i(b+d) = (c+a)+i(d+b) = c+id + a+ib
    siccome dobbiamo sommare le parti reali con le parti reali e, per le parti immaginarie, dobbiamo mettere in evidenza la i per poi sommare i numeri reali entro parentesi, allora la commutativita' deriva dalla commutativita' della somma fra numeri reali

  • Mostriamo la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
    x · (a+ib) = x·a + x·ib = ax + i bx = (a + ib )·x
    Il prodotto ordinario in R e' commutativo, quindi...

  • Mostriamo la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
    x·[(a+ib)+(c+id)]= x·(a+ib+c+id)= x·a +x·ib +x·c +x·id = ax+ibx+cx+idx= x·(a+ib) +x·(c+id)

  • Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
    x·(y+z) = x·y + x·z
    siamo in R e quindi la proprieta' e' valida

  • Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari
    x·(y·z) = (x·y)·z
    siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida

    • Quindi C) e' uno spazio vettoriale sul campo R