esercizio

Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio ordinario R3 con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con moltiplicazione scalare la normale moltiplicazione R·R3

Dimostrazione:
dovremo mostrare che abbiamo
  • la presenza di un gruppo commutativo su R3 con l'operazione somma (nelle componenti si riduce a somma fra elementi di R)
  • la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
  • la proprieta' associativa fra gli scalari
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( R3, +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti chiamati (a, b, c) e (d,e,f) due elementi di R3 allora anche
      (a+d, b+e, c+f) appartiene a R3
      infatti abbiamo che sulle varie componenti vale l'addizione in R

    • + e' associativa, infatti chiamati (a, b, c), (d, e, f) e (g, h, i) tre elementi di R3 abbiamo:
      [(a, b, c)+(d, e,f)]+(g,h,i) = (a+d, b+e, c+f)+(g, h, i) =
      = (a+d+g, b+e+h, c+f+i)= (a, b, c)+(d+g, e+h, f+i) =
      = (a, b, c)+[(d, e, f)+(g, h, i)]
      Infatti prioiettandoci sulle varie componenti l'addizione in R e' associativa

    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento (0, 0, 0) tale che per ogni
      elemento (a, b, c) di R3 abbiamo
      (0, 0, 0)+(a, b, c) = (0+a, 0+b, 0+c) = (a+0, b+0, c+0) =
      = (a, b, c) + (0, 0, 0)
      sulle componenti l'addizione e' commutativa


    • ogni elemento (a, b, c) di R3 possiede in + l'elemento simmetrico (-a, -b, -c) tale che:
      (a, b, c) + (-a, -b, -c) = (a-a, b-b, c-c) = (0, 0, 0)
      Infatti dato su una componente un numero reale basta considerare lo stesso numero con segno opposto;


    Quindi ( R3, +) e' un gruppo; inoltre tale gruppo e' commutativo perche' presi comunque due elementi (a, b, c) e (d, e, f) di R3 vale sempre
    (a, b, c)+(d, e, f) = (a+d, b+e, c+f) = (d+a, e+b, f+c) = (d, e, f)+(a, b, c)
    infatti su una componente posso applicare la legge commutativa valida in R

  • Mostriamo la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
    x · (a, b, c) = (x·a, x·b, x·c) = (a·x, b·x, c·x) = (a, b, c)·x
    Il prodotto ordinario in R e' commutativo, quindi...

  • Mostriamo la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
    x·[(a, b, c)+(d, e, f)]= x·(a+d, b+e, c+f)=
    = [x·(a+d), x·(b+e), x·(c+f)] = (xa+xd, xb+xe, xc+xf) =
    = (ax+dx, bx+ex, cx+fx) =(dx+ax, ex+bx, fx+cx) =
    =(dx, ex, fx)+(ax, bx, cx) = (xd, xe, xf)+(xa, xb, xc) = x(d, e, f) + x(a, b, c)
    se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi

  • Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
    x·(y+z) = x·y + x·z
    siamo in R e quindi la proprieta' e' valida

  • Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari
    x·(y·z) = (x·y)·z
    siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida

    • Quindi R3) e' uno spazio vettoriale sul corpo R