esercizio

Individuare la struttura di spazio vettoriale sullo spazio ordinario Rn con le normali operazioni di addizione e moltiplicazione e con moltiplicazione scalare la normale moltiplicazione R·Rn
E' la stessa dimostrazione fatta nella pagina precedente, solamente consideriamo n componenti invece delle tre ordinarie, quindi procede nello stesso modo: se hai fatto quella puoi non fare questa

Dimostrazione:
dovremo mostrare che abbiamo
  • la presenza di un gruppo commutativo su Rn con l'oprazione somma (nelle componenti si riduce a somma fra elementi di R)
  • la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
  • la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
  • la proprieta' associativa fra gli scalari
Cominciamo dal primo punto
  • Mostriamo che ( R3, +) e' un gruppo commutativo; devono valere le proprieta':
    • + e' interna infatti chiamati (a1, a2, a3, ....., an) e (b1, b2, b3, ....., bn) due elementi di Rn allora anche
      (a1+b1, a2+b2, a3+b3, ......, an+bn) appartiene a Rn
      infatti abbiamo che sulle varie componenti vale l'addizione in R

    • + e' associativa, infatti chiamati
      (a1, a2, a3, ....., an), (b1, b2, b3, ....., bn) e (c1, c2, c3, ....., cn) tre elementi di R3 abbiamo:
      [(a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn)]+(c1, c2, c3, ....., cn) =
      = (a1+b1, a2+b2, a3+b3, ......, an+bn)+(c1, c2, c3, ....., cn)=
      = (a1+b1+c1, a2+b2+c2, a3+b3+c3, ......, an+bn+cn)=
      = [a1+(b1+c1), a2+(b2+c2), a3+(b3+c3), ......, an+(bn+cn)]=
      = (a1, a2, a3, ....., an)+(b1+c1, b2+c2, b3+c3, ......, bn+cn) =
      = (a1, a2, a3, ....., an)+[(b1, b2, b3, ....., bn)+(c1, c2, c3, ....., cn)]

      Infatti sulle varie componenti (in R) vale le proprieta' associativa dell'addizione

    • + possiede l'elemento neutro: infatti esiste l'elemento (0, 0, 0,......,0) tale che per ogni
      elemento (a1, a2, a3, ....., an) di R3 abbiamo
      (0, 0, 0,.....,0)+(a1, a2, a3, ....., an) =
      = (0+a1, 0+a2, 0+a3, ....., 0+an) =
      = (a1+0, a2+0, a3+0, ....., an+0) =
      = (a1, a2, a3, ....., an) + (0, 0, 0,.....,0)

      Questo perche' sulle componenti l'addizione e' commutativa


    • ogni elemento (a1, a2, a3, ....., an) di Rn possiede in + l'elemento simmetrico
      (-a1, -a2, -a3, ....., -an) tale che:
      (a1, a2, a3, ....., an) + (-a1, -a2, -a3, ....., -an) =
      = (a1-a1, a2-a2, a3-a3,........ an-an) = (0, 0,0,.....,0)

      Infatti dato su una componente un numero reale basta considerare lo stesso numero con segno opposto;


    Quindi ( Rn, +) e' un gruppo;
    inoltre tale gruppo e' commutativo perche' presi comunque due elementi
    (a1, a2, a3, ....., an) e (b1, b2, b3, ....., nn) di Rn vale sempre
    (a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn) =
    = (a1+b1, a2+b2+a3+b3,........ an+bn) =
    =(b1+a1, b2+a2, b3+a3, ........ bn+an) =
    = (b1, b2, b3, ....., bn)+(a1, a2, a3, ....., an)

    infatti su una componente posso applicare la legge commutativa valida in R

  • Mostriamo la commutativita' del prodotto scalare (che coincide col prodotto ordinario in R)
    x · (a1, a2, a3, ....., an) = (x·a1, x·a2, x·a1, ........,x·an) =
    =(a1·x, a2·x, a3·x,.....,an·x ) = (a1, a2, a3, ....., an)·x

    Il prodotto ordinario in R e' commutativo, quindi...

  • Mostro la proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione vettoriale
    x·[(a1, a2, a3, ....., an)+(b1, b2, b3, ....., bn)]=
    =x·(a1+b1, a2+b2, a3+b3,......., an+bn)=
    = [x·(a1+b1, x·(a2+b2), x·(a3+b3),......., x·(an+bn)]=
    = (xa1+xb1, xa2+xb2, xa3+xb3,......., xan+xbn)
    =
    = (a1x+b1x, a2x+b2x, a3x+b3x,......., anx+bnx) =
    =
    (b1x+a1x, b2x+a2x, b3x+a3x,......., bnx+anx) =
    =(b1x, b2x, b3x,.......,bnx)+(a1x, a2x, a3x,......., anx) =
    = (xb1, xb2, xb3,.......,xbn)+(xa1, xa2, xa3,......., xan) =
    = x(b1, b2, b3, ....., bn) + x(a1, a2, a3, ....., an)

    se fermi il mouse sui termini ti illustro i passaggi

  • Mostriamola proprieta' distributiva della moltiplicazione scalare rispetto all'addizione di scalari
    x·(y+z) = x·y + x·z
    siamo in R e quindi la proprieta' e' valida

  • Mostriamo la proprieta' associativa fra gli scalari
    x·(y·z) = (x·y)·z
    siamo sempre in R e quindi la proprieta' e' valida

  • Quindi Rn) e' uno spazio vettoriale sul corpo R