esercizio risolvere l'equazione: sen x - cos x = 2 cos2x - sen 2x Abbiamo l'angolo x e l'angolo 2x; riduciamo allo stesso angolo x (formule di duplicazione) sen x - cos x = 2 cos2x - 2 sen x cos x portiamo tutto prima dell'uguale sen x - cos x - 2 cos2x + 2 sen x cos x = 0 sono 4 termini: e' un raccoglimento parziale: raccolgo sen x fra il primo ed il quarto e - cos x fra il secondo ed il terzo sen x (1 + 2 cos x) - cos x ( 1 + 2 cos x) = 0 ora raccolgo la parentesi (1 + 2 cos x) (sen x - cos x) = 0 come nell'altro esercizio se ti e' difficile scomporre con sen x e cos x sostituiamo delle lettere e scomponiamo sen x = a cos x = b otteniamo a - b - 2b2 + 2ab = 0 raccolgo a fra il primo ed il quarto e -b fra il secondo ed il terzo termine a(1 + 2b) - b(1 + 2b) = 0 (1 + 2b) (a - b) = 0 poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le due equazioni 1 + 2 cos x = 0 sen x - cos x = 0 risolvo la prima 1 + 2cos x = 0 ricavo cos x 2cos x = -1 cos x = - 1/2 so che il coseno vale -1/2 per l'angolo di 120°, quindi x = 120° + k 360° risolvo la seconda sen x - cos x = 0 e' un'equazione lineare omogenea dividiamo per cos x sen x cos x 0 ---------- - ---------- = ---------- cos x cos x cos x Ricordando che seno fratto coseno vale tangente tang x - 1 = 0 tang x = 1 so che la tangente vale 1 per l' angolo di 45° quindi posso scrivere x = 45° + k 180° controllo che cos x = 0 non sia soluzione: cos x = 0 corrisponde a x= 90° sostituisco nell'equazione sen 90° - cos 90° = 0 1 + 0 = 0 impossibile Raccogliendo ho quindi le soluzioni x = 45° + k 180° x = 120° + k 360°