esercizio

risolvere l'equazione:

sen 3x cos 5x = sen 2x cos 6x

Abbiamo gli angoli 3x 5x 2x e 6x; non e' il caso di ridurre allo stesso angolo; utilizziamo le formule di Werner

scriviamo prima le funzioni con gli angoli maggiori (dovendo fare la sottrazione)

cos 5x sen 3x = cos 6x sen 2x

applico ora la seconda formula ed ottengo:

sen(5x+3x) - sen(5x-3x) sen(6x+2x) - sen(6x-2x)
----------------------------------------- = -----------------------------------------
2 2
Sommo ai numeratori e tolgo i denominatori

sen 8x - sen 2x = sen 8x - sen 4x

porto prima dell'uguale

sen 8x - sen 2x - sen 8x + sen 4x = 0

sommo ed ordino

sen 4x - sen 2x = 0

il primo angolo e' 4x, il secondo e' 2x riduciamo tutto a 2x (formule di duplicazione)

2 sen 2x cos 2x - sen 2x = 0

Raccogliamo sen 2x a fattor comune

sen 2x (2 cos 2x - 1)= 0

poniamo ora uguali a zero entrambe i fattori: devo risolvere le due equazioni
  • sen 2x = 0
  • 2 cos 2x - 1 = 0
  • risolvo la prima
    sen 2x = 0
    so che il seno vale zero per l'angolo di 0° e di 180°, quindi
    2x = 0° + k 360°
    2x = 180° + k 360°
    pero' io cerco l'angolo x e quindi dividiamo per 2
    x = 0° + k 180°
    x = 90° + k 180°

  • risolvo la seconda
    2 cos 2x - 1 = 0
    ricavo cos 2x
    2 cos 2x = 1
    cos 2x = 1/2
    so che il coseno vale 1/2 per gli angoli 60° quindi posso scrivere
    2x = 60° + k 360° pero' io cerco l'angolo x e quindi dividiamo per 2
    x = 30° + k 180°
Raccogliendo ho quindi le soluzioni
x = 0° + k 180°
x = 30° + k 180°
x = 90° + k 180°
o meglio, ordinando le soluzioni e ricordando che 180 - 30 = 150 per togliere il
x = 0° + k 180°
x = 30° + k 180°
x = 90° + k 180°
x = 150° + k 180°