Esercizi piu' complicati Per risolvere questi esercizi devi riscrivere il problema mettendolo nella forma succede questo o succede quello, succede questo e succede quest'altro: se i fatti sono incompatibili al posto di o puoi mettere il + mentre al posto di e puoi mettere il · se gli eventi sono indipendenti. esercizio 1 Trovare la probabilita', estraendo due carte da un mazzo di 40, e rimettendo la carta nel mazzo prima della seconda estrazione, di estrarre una figura ed un asso Svolgimento Il problema mi dice che devo estrarre la prima volta, poi di rimettere la carta nel mazzo ed estrarre una seconda volta: posso avere due possibilita' I possibilita': come prima carta una figura e come seconda un asso oppure II possibilita' come prima carta un asso e come seconda una figura Per ottenere il risultato accade la prima o accade la seconda Quindi posso scrivere: Probabilita' = [possibilita' I + possibilita' II) = (probabilita' di estrarre una figura) · (probabilita' di estrarre un asso) + (probabilita' di estrarre un asso) · (probabilita' di estrarre una figura) Calcolo le singole probabilita' Possibilita' I probabilita' di estrarre una figura = 12/40 probabilita' di estrarre un asso = 4/40 Possibilita' II probabilita' di estrarre un asso = 4/40 probabilita' di estrarre una figura = 12/40 Probabilita' 12 = --- · 40 4 --- 40 4 + --- · 40 12 --- 40 3 = ----- + 100 3 ----- 100 6 = ---- ~ 100 0,06 = 6,0% La probabilita' e' circa del 6% nel 6,0% lo zero dopo la virgola e' importante perche' indica il grado di precisione della misura (fino alla prima cifra decimale) esercizio 2 Abbiamo un'urna con 10 palline bianche, 20 rosse e 30 nere: trovare la probabilita' di estrarre due palline di colore diverso senza rimettere la prima pallina estratta nell'urna Svolgimento Abbiamo 6 possibilita': Prima pallina bianca e seconda rossa Prima pallina rossa e seconda bianca Prima pallina bianca e seconda nera Prima pallina nera e seconda bianca Prima pallina rossa e seconda nera Prima pallina nera e seconda rossa la probabilita' sara' data dalla somma delle varie possibilita': Probabilita' = =possibilita' I +possibilita' II +possibilita' III +possibilita' IV +possibilita' V +possibilita' VI = = (probabilita' di estrarre una pallina bianca) · (probabilita' di estrarre una pallina rossa) + (probabilita' di estrarre una pallina rossa) · (probabilita' di estrarre una pallina bianca) + (probabilita' di estrarre una pallina bianca) · (probabilita' di estrarre una pallina nera) + (probabilita' di estrarre una pallina nera) · (probabilita' di estrarre una pallina bianca) + (probabilita' di estrarre una pallina rossa) · (probabilita' di estrarre una pallina nera) + (probabilita' di estrarre una pallina nera) · (probabilita' di estrarre una pallina rossa) + Calcolo le singole probabilita' per le varie possibilita' le palline in totale sono 60, nella seconda estrazione ne restano 59 probabilita' di estrarre una pallina bianca = 10/60 = 1/6 probabilita' di estrarre la seconda pallina rossa = 20/59 probabilita' di estrarre una pallina rossa = 20/60 = 1/3 probabilita' di estrarre la seconda pallina bianca = 10/59 probabilita' di estrarre una pallina bianca = 10/60 = 1/6 probabilita' di estrarre la seconda pallina nera = 30/59 probabilita' di estrarre una pallina nera = 30/60 = 1/2 probabilita' di estrarre la seconda pallina bianca = 10/59 probabilita' di estrarre una pallina rossa = 20/60 = 1/3 probabilita' di estrarre la seconda pallina nera = 30/59 probabilita' di estrarre una pallina nera = 30/60 = 1/2 probabilita' di estrarre la seconda pallina rossa = 20/59 Probabilita' = 1 = --- · 6 20 ---- 59 1 + --- · 3 10 ---- 59 1 + --- · 6 30 ---- 59 1 + --- · 2 10 ---- 59 1 + --- · 3 30 ---- 59 1 + --- · 2 20 ---- 59 = 110 = ------ = 177 ~ 0,621 = 62,1% La probabilita' e' circa del 62,1% per fare prima i calcoli puoi notare che pe possibilita' I con II , III con IV e V con VI hanno la stessa probabilita' esercizio 3 Trovare la probabilita', utilizzando un mazzo di 52 carte, di estrarre 3 carte dell stesso seme sempre rimettendo la carte estratta nel mazzo Svolgimento "3 carte dello stesso seme" significa 3 quadri oppure 3 cuori oppure 3 fiori oppure 3 picche Abbiamo 4 eventi composti: Quadri la prima carta e la seconda e la terza Cuori la prima carta e la seconda e la terza Fiori la prima carta e la seconda e la terza Picche la prima carta e la seconda e la terza Gli eventi composti sono fra loro incompatibili quindi applico la probabilita' totale Probabilita' = =possibilita' I +possibilita' II +possibilita' III +possibilita' IV = Ogni possibilita' e' composta di 3 eventi indipendenti, per calcolarne la probabilita' applico la probabilita' composta = (prima quadri)·(seconda quadri)·(terza quadri)+(prima cuori)·(seconda cuori)·(terza cuori)+(prima fiori)·(seconda fiori)·(terza fiori)+(prima picche)·(seconda picche)·(terza picche) Calcolo le singole probabilita' per fare prima notiamo che abbiamo lo stesso numero (13) di carte di quadri, cuori, fiori e picche quindi probabilita' di uscita di una carta di un seme particolare = 13/52 = 1/4 Probabilita' totale = 1 = --- · 4 1 --- 4 1 · --- + 4 1 --- 4 1 · --- · 4 1 --- 4 1 + --- · 4 1 --- 4 1 · --- + 4 1 --- 4 1 · --- · 4 1 --- 4 1 = ---- = 16 = 0,0625 = 6,25% La probabilita' e' del 6,25 Prova a risolvere l'esercizio senza rimettere la carta nel mazzo esercizio 4 Abbiamo un'urna con 10 palline bianche, 20 rosse e 30 nere: trovare la probabilita' di estrarre contemporaneamente 3 palline dello stesso colore Svolgimento Devono uscire o tre palline bianche o 3 palline rosse o tre palline nere Gli eventisono incompatibili quindi applico il teorema della probabilita' totale Probabilita' = (probabilita' 3 bianche) + (probabilita' 3 rosse) + (probabilita' 3 nere) Siccome le palline vengono estratte contemporaneamente mi conviene usare le combinazioni vedi problema 2 e 3 Calcolo le singole probabilita' 3 bianche = C10,3 -------- C60,3 6 = --------   1711 3 rosse = C20,3 -------- C60,3 57 = --------   1711 3 nere = C30,3 -------- C60,3 203 = --------   1711 Probabilita' totale 6 = ------ + 1711 57 ------ 1711 203 + ------ = 171 1 266 -------- 1711 ~ 0,155 = 15,5% La probabilita' e' circa del 15,5% Nota: potevo ancora applicare i teoremi per calcolare le probabilita' di uscita di 3 carte uguali: ad esempio (cuori la prima e cuori la seconda e cuori la terza) = = 10/60 · 9/59 · 8/58 = 6/1711 perche' estrarre tre palline contemporaneamente equivale all'estrazione senza rimettere la pallina estratta nell'urna, ma il calcolo e' piu' veloce usando le combinazioni Esercizio: prova a svolgere l'esercizio 3 senza rimettere la carta nel mazzo ed usando le combinazioni