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Eventi indipendenti E' ora fondamentale introdurre il concetto di eventi indipendenti Definizione: Si dice che l'evento E1 e' indipendente dall'evento E2 se il fatto che si verifichi E2 non altera le probabilita' dell'evento E1 P(E1) = P(E1|E2) Esempio di eventi indipendenti Trovare la probabilita' che estraendo una carta da un mazzo di 40 essa sia un asso oppure una figura gli eventi E1 uscita di un asso E2 uscita di una figura sono tra loro indipendenti Esempio di eventi dipendenti Trovare la probabilita' che estraendo due carte da un mazzo di 40 (senza rimettere la carta estratta nel mazzo) la prima sia un asso e la seconda sia una figura gli eventi E1 uscita di un asso E2 uscita di una figura sono tra loro dipendenti perche' il primo evento fa variare la probabilita' del secondo evento: i casi possibili per la seconda estrazione non sono piu' 40 ma 39 Vediamo alcune proprieta' importanti degli eventi indipendenti che derivano dalla definizione: Se E1 e' indipendente da E2 allora anche E2 e' indipendente da E1 Cioe' la proprieta' di indipendenza di eventi e' reciproca Dalla formula per la probabilita' composta P(E1) · P(E2|E1) = P(E1 E2) = P(E2 E1) = P(E2) · P(E1|E2) guardando il primo e l'ultimo termine, essendo per ipotesi P(E1) = P(E1|E2) ne segue P(E2|E1) = P(E2) come volevamo Se gli eventi E1 ed E2 sono indipendenti allora sono indipendenti anche le coppie di eventi E1, E2 _ E1, E2 _ E1, E2 _ _ sono indipendenti; dimostriamo l'indipendenza della prima coppia so che P(E2|E1) = P(E2) devo dimostrare che P(E2|E1) = P(E2)_ _ so che, essendo complementari gli eventi E2 e E2, _ P(E2|E1) + P(E2|E1) = 1_ Per ipotesi P(E2|E1) = P(E2) quindi P(E2|E1) = 1 - P(E2) = P(E2)_ _ come volevamo Qualche testo usa, in modo equivalente, il termine di indipendenza stocastica