Limite finito di una successione Quella che abbiamo dato nella pagina precedente e' una definizione mediante intorni ed e' valida sempre per ogni tipo di limite; ma e' possibile dare, per una successione convergente, una definizione di limite piu' "algebrica"che puo' essere meglio utilizzata negli esercizi Definizione diremo che la successione a1, a2,........ an,....... tende al limite finito a se considerato un numero ε positivo, piccolo a piacere, esiste in sua corrispondenza un numero kε∈N tale che quando |an-a|<ε abbiamo n >kε In simboli: limn→∞ an = a     ⇔     |an-a|<ε   ⇒   n > kε Intuitivamente significa che una successione a1,  a2,  a3,  ..... ak, ..... tende al limite finito a se preso un intorno piccolo di a (largo ε) da un certo termine ak in poi tutti i termini della successione cadono dentro tale intorno Esempio: considero la successione -8, +4, -2, +1, -½, +¼.... (-½)n-4, ..... Se vuoi vedere perche' il termine generico e' (-½)n-4 Se guardi la figura a destra vedi che gia' prendendo come valore di ε sulle ordinate circa ±1/2 gia' il termine 1/4 della successione cade dentro la striscia colorata come tutti i termini successivi, che si avvicinano tanto a 0 che non posso nemmeno disegnarli La successione tende a 0 perche' se considero un numero piccolo, tipo 1/1000 (un millesimo) esiste un termine della successione oltre il quale tutti i termini cadono a meno di un millesimo da 0 tale termine sara' 1/512; il termine successivo 1/1024 e' piu' vicino a zero di un millesimo come tutti i termini seguenti Ti scrivo i primi 15 termini della successione, cosi' puoi verificare da solo -8, +4, -2, +1, - 1 2 , + 1 4 , - 1 8 , + 1 16 , - 1 32 , + 1 64 , - 1 128 , + 1 256 , - 1 512 , + 1 1024 , - 1 2048 , ...... Il tal caso diremo che il limite e' finito e scriviamo limk→∞ ak = a nel nostro caso la successione considerata ha valore 0 Poiche' possiamo indicarla come -8·(-½)k-1 potremo scrivere limk→∞ -8·(-½)k-4 = 0 Da notare che per indicare il termine generico dello sviluppo della successione uso la lettera n, mentre per fare il limite del termine generico uso la lettera k: e' una pignoleria, pero' cosi' indico in modo diverso due cose diverse