tipi di successioni a limite finito


Per capirci meglio nei grafici delle successioni introduciamo il concetto di asintoto orizzontale come retta orizzontale cui si avvicinano sempre piu' i termini della successione senza mai toccarla;
Per ogni esempio abbiamo varie possibilita': il limite a puo' essere positivo, negativo o nullo: l'asintoto orizzontale y = a sara' sopra, sotto oppure coincidera' con l'asse delle x: per avere ogni possibilita' bastera' alzare od abbassare la figura rispetto all'orizzontale

Distinguiamo i casi
  • Successione decrescente con limite finito

    Esempio: consideriamo

    2 ,   3

    2
    ,   4

    3
    ,   5

    4
    , ........ n+1

    n
    ,  .....
    Essa ha come limite il valore 1: i suoi termini si avvicinano al valore 1 decrescendo

    Da un certo momento in poi tutti i termini della successione sono contenuti nella striscia colorata (intorno superiore di 1 che posso restringere quanto voglio), quindi posso scrivere
    limk→∞ k+1

    k
    = 1



  • Successione crescente con limite finito
    Esempio: consideriamo

    -9,  -5,  -3,  -2 ,  - 3

    2
    ,  - 5

    4
    ,  - 7

    8
    , ........ -(½)k-4-1 ,  .....
    Essa ha come limite il valore -1: i suoi termini si avvicinano al valore -1 decrescendo

    Da un certo momento in poi tutti i termini della successione sono contenuti nella striscia colorata (intorno inferiore di -1 che posso restringere quanto voglio), quindi posso scrivere

    limk→∞ - (½) k-4
     
    -1 = -1




  • Successione oscillante a limite finito


    Esempio: prendiamo la successione gia' considerata

    -8, +4, -2, +1, -½, +¼.... (-½)n-4, .....

    Essa ha come limite il valore 0:
    i suoi termini si avvicinano al valore 0 sia dall'alto che dal basso (oscillando)


    Da un certo momento in poi tutti i termini della successione sono contenuti nella striscia colorata (intorno completo di 0 che posso restringere quanto voglio), quindi posso scrivere

    limk→∞ (-½)k-4 = 0