Teorema della permanenza del segno del limite di una successione Vale il teorema: Se una successione numerica reale converge ad un numero positivo, allora da un certo termine ak in poi tutti i termini della successione sono positivi logicamente vale anche Se una successione numerica reale converge ad un numero negativo, allora da un certo termine ak in poi tutti tutti i termini della successione sono negativi come esercizio dimostriamo il primo supponiamo che la successione a1  a2  a3  ...... an  .... converga ad a > 0, cioe' limx→∞an = a con a > 0 allora, essendo a positivo, esiste, sulla retta reale, un intorno di a in cui tutti i punti hanno valore positivo Data la definizione di limite: limx→∞an = a   ⇔ |an-a| < ε ⇒ n>kε considerando come ε la distanza da a ad uno di tali punti avremo che an cade in tale intorno e quindi an e' positivo come tutti i suoi termini successivi come volevamo