Serie a termini tutti positivi o tutti negativi


Consideriamo una serie i cui termini siano tutti positivi

a1 + a2 + a3 + a4 + .....

allora tale serie o converge oppure diverge e non puo' essere indeterminata:
infatti se i termini sono tutti positivi allora la successione delle ridotte
s1,   s2,   s3,   s4, .......
e' una successione crescente in senso stretto e quindi o diverge a +∞ oppure converge all'estremo superiore del proprio codominio

analogamente se la serie considerata ha i termini tutti negativi allora la successione delle ridotte e' un successione decrescente in senso stretto e quindi o tende a -∞ oppure e' convergente e tende al valore inferiore del proprio codominio

Una serie a termini tutti positivi oppure tutti negativi sara' chiamata serie a termini di segno costante
Esempio: la serie
(-1) + (-1) + (-1) +(-1) + (-1) + (-1) +.......
diverge a -∞
Mentre la serie
1

2
+ 1

4
+ 1

8
+ 1

16
+ .....
converge a 1, infatti, se considero le ridotte
s1,   s2,   s3,   s4, .......
essendo
s1 = 1/2
s2 = 1/2 + 1/4 = 3/4
s3 = 1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
s4 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16= 15/16
...............................................
avro' la successione
1

2
, 3

4
, 7

8
, 15

16
, ..... n-1

n
, .....
che converge al valore 1

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