Considerazioni sul concetto di infinito


Un mio amico, matematico con la passione per la fisica mi ha fatto notare che se prendo una corda di 40.000.000 di metri (quaranta milioni di metri) posso, stendendola a terra, circondare la terra tutto attorno all'equatore
Se sollevo la corda di un metro , per poter fare il giro della terra sull'equatore devo allungarla di metri 6 e 28 centimetri
Infatti siccome la misura della circonferenza e' 2πr per trovare la misura della circonferenza della corda rialzata basta fare
2π(r+1)=2πr + 2π = circonferenza iniziale +6,28 metri
questo per dirti che spesso le cose sono strane; solo mediante il ragionamento matematico possiamo avere una ragionevole certezza della loro realta'
Tra tutte le stranezze, comunque, il posto d'onore spetta al concetto di infinito che sara' ampiamente usato in analisi matematica

Fissiamo subito una cosa fondamentale:
l'infinito non esiste: e' solo una convenzione che usiamo perche' molto utile per il nostro pensiero

Vediamo di capire meglio il concetto di infinito aiutandoci con un po' di geometria cartesiana;
Cominciamo con il considerare la curva    
(iperbole equilatera)
y = 1

x
nel primo quadrante
Pensa ad un punto che percorre la curva
Man mano che x cresce il valore della y diminuisce e la curva, quindi il punto si avvicina all'asse delle x
dopo mille metri la distanza sara' di 1/1000m = 1 millimetro
dopo un milione di metri la distanza sara' 1/1000000m = 1 µ (micron) dopo mille miliardi di metri la distanza fra la curva e l'asse x sara' minore del diametro di un atomo..
e posso proseguire
mentalmente posso arrivare ad una distanza dall'origine pari o superiore al diametro dell'intero universo ed ancora, per la mia mente, la curva e l'asse x hanno ancora una distanza
Quindi tale distanza sara' inferiore al diametro di un atomo, al diametro di un protone, alla dimensione di un quark, alla lunghezza di una stringa,.....
quindi che senso ha parlare di distanza? Per poter salvare capra e cavoli allora parlo di infinito ed infinitesimo, nel senso che posso sempre andare avanti e trovero' ancora numeri per x ma a zero non ci arrivero' mai.
Diremo quindi che per x tendente ad infinito la distanza fra la curva e l'asse x tende a zero, od anche che la curva e l'asse x hanno in comune un punto all'infinito
Consideriamo ora la retta
(bisettrice del 1° e 4° quadrante)    
y = x nel primo quadrante
Pensa un punto che percorre la curva
Man mano che x cresce il valore della y aumenta
dopo mille metri l'altezza sara' di 1000m
dopo un milione di metri la distanza sara' un milione di metri dopo mille miliardi di metri presi sull'asse x la distanza fra la curva e l'asse x sara' mille miliardi di metri..
e posso proseguire
mentalmente posso arrivare ad una distanza dal punto all'asse delle x pari o superiore al diametro dell'intero universo ed ancora, per la mia mente, il punto puo' ancora procedere sulla curva
quindi anche qui che senso ha parlare di distanza?Allora parlo di infinito, nel senso che posso sempre andare avanti e trovero' sempre ancora numeri
Diremo quindi che per x tendente ad infinito anche y, cioe'la distanza fra la curva e l'asse x, tende ad infinito
prima di procedere ti propino una vecchia barzelletta che ti chiarira' meglio il concetto
Gara mondiale fra matematici a chi riesce a scandire il numero Naturale piu' grande
dopo alcuni contendenti arriva il super matematico A che comincia a scandire;
"Un miliardo di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi,...."
e continua cosi' per ore con uno sforzo tremendo finche' con le ultime forze pronuncia
" di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi, di miliardi"
poi si accascia svenuto per lo sforzo
Allora il matematico B si alza ed urla;
" piu' uno!"
Grande boato di folla, viene acclamato subito vincitore e portato in trionfo fuori dai presenti.
In sala resta il matematico C che piange e si dispera, a chi gli chiede perche' pianga risponde:
"Piango perche' non ho detto piu' due, sarei io il vincitore!"

A parte la barzelletta scema il concetto di infinito e' proprio questo: ce n'e' sempre uno in piu'!
Quindi per misurare l'infinito cosa e' meglio se non utilizzare l'insieme dei numeri naturali che si ottengono l'uno dall'altro aggiungendo 1?
Assiomi di Peano per la generazione dell'insieme N a partire da 1
  • Esiste un numero naturale, 1
  • Ogni numero naturale ha un numero naturale successivo
  • Numeri diversi hanno successivi diversi
  • 1 non è il successivo di alcun numero naturale
  • Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga 1 e il successivo di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali

Per questo utilizzeremo la definizione:
un insieme e' infinito se un qualunque suo sottoinsieme puo' essere posto in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali
Ad ogni numero naturale corrisponde un punto del sottoinsieme e viceversa ad ogni punto del sottoinsieme corrisponde un numero naturale
E' un concetto che abbiamo gia' trovato:
Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esiste sempre un altro punto appartenente all'insieme
Significa che posso sempre aggiungere un punto ed aggiungendo un punto per volta ottengo infiniti punti, il che mi porta alla definizione
Un punto e' di accumulazione per un insieme se preso comunque un intorno del punto stesso al suo interno esistono infiniti punti appartenenti all'insieme

Altra definizione che abbiamo ncontrato
intervallo continuo significa che presi comunque due punti dell'intervallo diversi fra loro in mezzo trovero' sempre un terzo punto
Significa che posso sempre aggiungere un punto ed aggiungendo un punto per volta ottengo infiniti punti fra i due considerati

Vediamo adesso quali tipi di infinito ci interessano:
c'e' l'infinito asintotico (primo esempio con l'iperbole equilatera si dice asintoto la tangente alla curva all'infinito
l'infinito illimitato (secondo esempio con la bisettrice del primo e terzo quadrante,
c'e' anche l'infinito limitato (sembra quasi un ossimoro) ossimoro e' una contraddizione in termini come ad esempio "diavol di un angelo!"

Infinito limitato
Se ad esempio considero il segmento di retta reale
I = { x ∈ ℜ / 1 < x ≤ 5}
tale segmento quanti punti contiene? Evidentemente infiniti, infatti posso pensare ogni suo punto come finale di un suo sottoinsieme in corrispondenza biunivoca con l'insieme N
se ad esempio prendo 3, posso prendere come insieme infinito
    I = { x ∈ ℜ / x(k) = 3 - 1

10k
, k∈N }
ottengo
2,9   2,99   2,999   2,9999   2,99999   2,999999 ........ →3
Diremo quindi che per k tendente ad infinito la successione tende a 3, od anche che 3 e' il limite della successione per k tendente all'infinito
e questo posso farlo per ogni suo punto sia interno che di frontiera

Un tipo di infinito di questo genere e' detto limitato, perche' puo' essere completamente contenuto in un intervallo chiuso di ℜ, nel nostro caso basta che prendi l'intervallo da 0 a 6
se vuoi approfondire torna agli esercizi precedenti

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