Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica: dimostrazione Considero i numeri complessi z1 = a + ib = ρ1 (cos θ1 + i sen θ1) z2 = c + id = ρ2 (cos θ2 + i sen θ2) Per trovare la regola eseguiamo il prodotto termine a termine: z1·z2 = [ρ1 (cos θ1 + i sen θ1)] · [ρ2 (cos θ2 + i sen θ2)] = = ρ1 ρ2 (cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sen θ2 + i sen θ2 + i2 sen θ1 sen θ2) = poiche' i2 = -1 ottengo = ρ1 ρ2 (cos θ1 cos θ2 + i cos θ1 sen θ2 + i sen θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ2) = raggruppo le parti reali e le parti immaginarie = ρ1 ρ2 [(cos θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ1) + (i cos θ1 sen θ2 + i sen θ1 cos θ2)] = = ρ1 ρ2 [(cos θ1 cos θ2 - sen θ1 sen θ1) + i( cos θ1 sen θ2 + sen θ1 cos θ2)] = Dentro la prima parentesi l'espressione e' il coseno della somma di due angoli Dentro la seconda parentesi l'espressione e' il seno della somma di due angoli quindi posso scrivere = ρ1ρ2 [cos (θ1 +θ2) + i sen (θ1+θ2 )]