Quoziente di numeri complessi in forma trigonometrica: dimostrazione Considero i numeri complessi z1 = a + ib = 1 (cos 1 + i sen 1) z2 = c + id = 2 (cos 2 + i sen 2) Per trovare la regola eseguiamo il quoziente secondo la regola gia' trovata per i numeri in forma canonica Z1 1 (cos 1 + i sen 1) ------- = ------------------------------ = Z2 2 (cos 2 + i sen 2) Razionalizzo, cioe' moltiplico sopra e sotto per il denominatore con il segno in mezzo cambiato (solo la parte dentro parentesi) 1 (cos 1 + i sen 1) (cos 2 - i sen 2) = ------------------------------ · ------------------------------ = 2 (cos 2 + i sen 2) (cos 2 - i sen 2) eseguo i calcoli: al numeratore devo fare il prodotto normale, al denominatore e' un prodotto notevole 1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 - i2 sen 1 sen 2) = --------------------------------------------------------------------------- = 2 (cos2 2 - i2 sen2 2) Ricordando che i2 = -1 posso scrivere 1 (cos 1 cos 2 - i cos 1 sen 2 + i sen 1 cos 2 + sen 1 sen 2) = --------------------------------------------------------------------------- = 2 (cos2 2 + sen2 2) Al numeratore raggruppo le parti reali e le parti immaginarie e poiche' per la prima relazione fondamentale della trigonometria si ha cos2 2 + sen2 2 = 1 posso scrivere 1 [(cos 1 cos 2 + sen 1 sen 2) +i (sen 1 cos 2 -cos 1 sen 2 )] = --------------------------------------------------------------------------- = 2 Dentro la prima parentesi l'espressione e' il coseno della differenza di due angoli Dentro la seconda parentesi l'espressione e' il seno della differenza di due angoli quindi posso scrivere = 1/2 [cos (1 - 2) + i sen 1-2 )]