Teorema di Gödel Diremo che un sistema e' completo se conosciamo ogni sua formula Diremo che un sistema e' coerente se posso dimostrare tutte le sue formule, cioe' per ogni sua formula posso dire se e' vera oppure falsa Il teorema di Gödel dice che: Dato un qualunque sistema formale esso o e' coerente oppure e' completo Cioe' un sistema formale non puo' essere coerente e completo allo stesso tempo: se conosco tutte le formule del sistema allora ci sara' una formula per cui non posso dire se e' vera oppure falsa, viceversa se per ogni formula che conosco so se e' vera oppure e' falsa significa che ci sono altre formule nel sistema che ancora non ho individuato Vediamone un accenno di dimostrazione Ogni sistema formale si puo' trasformare in un sottoinsieme di N come abbiamo visto nelle pagine precedenti e ad ogni formula corrisponde il suo numero di Gödel. Gödel mostro' che tra le varie formule e' possibile individuare una formula chiamata G che, una volta ritrasformata dal suo numero, dica: "La formula G non e' dimostrabile" Ricordo che dimostrabile significa che posso dire se e' vera oppure falsa Anche qui ci troviamo di fronte ad un paradosso infatti Se G e' dimostrabile allora siccome vale "La formula G non e' dimostrabile" ne segue che G non e' dimostrabile Se G non e' dimostrabile allora la formula "La formula G non e' dimostrabile" e' vera e quindi dimostrabile Per rincarare la dose Gödel applico' il suo ragionamento all' intera aritmetica e dimostro' che l'aritmetica nel suo complesso o e' completa oppure e' coerente