Integrazione per parti La formula per l'integrazione per parti deriva dalla formula per la derivata di un prodotto:                 (Dimostrazione) La maggior difficolta' e' data dal fatto che e' possibile presentare la formula in modi diversi Io preferisco questa formula che mi sembra la piu' semplice: f(x)·g(x) dx = f(x)·g(x) dx - ( f '(x)· g(x) dx) dx o, in modo abbreviato f·g = f·g - ( f '· g) Intuitivamente, dovendo fare l'integrale del prodotto di due funzioni di una devi saperne fare l'integrale e dell'altra la derivata Molto spesso di una funzione conosci sia l'integrale che la derivata, in questo caso devi scegliere in modo che il risultato sia un integrale piu' semplice di quello di partenza: ad esempio se considero x3 da derivare ottengo 3x2 cioe' un grado piu' basso mentre se la considero da integrare ottengo x4 /4 cioe' un grado piu' alto; di solito devo cercare di trovare dei gradi piu' bassi: l'esempio qui sotto fa eccezione Esempio: calcolare x logx dx Si tratta di un prodotto di funzioni: della funzione logaritmo conosco bene la derivata (1/x), della funzione x conosco bene l'integrale. Quindi pongo f(x) = log x g(x) = x Applicando la formula: x logx dx = log x x dx - ( 1/x x dx) dx = ricordando che l'integrale di x e' x2/2 avro' x2    1 x2 = --- log x - --- · --- dx = 2 x 2 Semplifico ed estraggo 1/2 dall'integrale x2 1    = --- log x - --- x dx = 2 2 e risolvendo l'integrale x2 1 x2 x2 x2 = --- log x - --- · --- = --- log x - --- + c 2 2 2 2 4 Per presentare la soluzione in modo piu' elegante raccogliamo x2 /2 x2 1 = --- ( log x - --- ) + c 2 2 Ricapitolando: Devo avere il prodotto di due funzioni Devo decidere quale funzione derivare e quale integrare Applico la formula ed eseguo i calcoli Vediamo ora alcuni esercizi per meglio fissare il concetto Un sottocaso abbastanza interessante dell'integrazione per parti e' la cosiddetta integrazione per ricorrenza