Equazione della parabola con vertice nell'origine ed asse verticale Applichiamo la definizione considerando il Fuoco sull'asse y e la direttrice come retta orizzontale da banda opposta dell'origine rispetto al fuoco ed avente dall'origine la stessa distanza del fuoco PF = PH ora dobbiamo decidere quanto vale la distanza dall'origine del fuoco e della direttrice Abbiamo il solito problema: se mettiamo semplice la costante avremo poi un'equazione complicata, mentre conviene porre la costante in un certo modo in maniera che poi l'equazione resti semplice negli anni '60 si preferiva procedere cosi' Per avere il risultato semplice poniamo 1 F = (0 , --- ) 4a quindi la direttrice avra' equazione 1 y = -  --- 4a Siccome devo porre PF=PH ricaviamo PF e PH Per ricavare PF uso la formula della distanza fra due punti P = (x,y) 1 F = (0 , --- ) 4a 1 PF = ( x - 0)2 + ( y -   --- )2 4a Per trovare PH mi servono le coordinate di H osservando la figura vedo che la x di H e' uguale a quella di P mentre la y si trova sulla direttrice quindi vale -1/4a P = (x,y) 1 H = (x , - --- ) 4a anche qui applico la distanza fra due punti potevo fare anche la distanza punto retta, oppure osservare che il segmento e' verticale quindi si puo' ottenere come differenza fra le coordinate y 1 PH = ( x - x)2 + ( y + --- )2 4a (x-x) vale zero e sparisce: posso semplificare il quadrato con la radice: ottengo per fare prima posso uguagliare le radici e poi eliminarle prima e dopo l'uguale e quindi saltare un paio di passaggi 1 PH = y + --- 4a imposto l'uguaglianza PF = PH 1 1 ( x - 0)2 + ( y - --- )2 = y + --- 4a 4a Per togliere la radice elevo al quadrato prima e dopo l'uguale, cosi' la radice si elimina con il quadrato 1 1 x2 + ( y - --- )2 = (y + --- )2 4a 4a eseguo i quadrati y 1 y 1 x2 + y2 -  --- + ------ = y2 + ---- + ------ 2a 16a2 2a 16a2 elimino i termini uguali da parti opposte dell'uguale y y x2 -  --- = ---- 2a 2a Faccio il minimo comune multiplo 2a 2ax2 - y y ------------- = ------- 2a 2a elimino i denominatori 2ax2 - y = y 2ax2 = y + y 2ax2 = 2y 2y = 2ax2    ho usato la proprieta' simmetrica e, dividendo per 2, ottengo la formula finale y = ax2