Come individuare 2 sulla retta razionale Vediamo come fare ad individuare il numero 2 sulla retta dei numeri razionali partendo dal valore 2    approssimato a   1,414293.... facciamo due insiemi di numeri razionali a partire dal nostro numero: a sinistra i numeri che otteniamo approssimando per difetto alla prima, seconda, terza,... cifra del numero a destra i numeri che otteniamo approssimando per eccesso alla prima, seconda, terza.... cifra del numero 1 1,4 1,41 1,414 1,4142 ............ ............              2 1,5 1,42 1,415 1,4143 ............ ............ Questi numeri sono tutti razionali, infatti, ad esempio 1,415 equivale alla frazione    1415 -------- 1000 se andiamo a rappresentare questi numeri sulla retta razionale otteniamo: Prima ho rappresentato 1 e 2, poi 1,4 ed 1,5, poi 1,41 ed 1,42; non ho scritto questi ultimi numeri in figura perche' ormai troppo vicini; li ho solo indicati con le parentesi quadre I numeri per difetto si avvicinano da sinistra, i numeri per eccesso si avvicinano da destra Il numero 2 sara' in mezzo a questi numeri che si avvicinano sia da destra che da sinistra e pertanto sara' individuato Questo e' un ragionamento intuitivo: ora dobbiamo trasformarlo in un ragionamento formale: lo faremo nella prossima pagina Intanto mostriamo che lo stesso ragionamento possiamo farlo per un qualunque numero razionale tipo 3, cioe' 3,000000..... o, che e' la stessa cosa, 2,999999...... facciamo due insiemi di numeri razionali a partire dal nostro numero: a sinistra i numeri che otteniamo approssimando per 3 per difetto alla prima, seconda, terza,... cifra del numero, considerandone la forma 2,99999... a destra i numeri che otteniamo approssimando 3 eccesso alla prima, seconda, terza.... cifra del numero considerandone la forma 3,00000.... 2 2,9 2,99 2,999 2,9999 ............ ............ 4 3,1 3,01 3,001 3,0001 ............ ............              se andiamo a rappresentare questi numeri sulla retta razionale otteniamo: I numeri per difetto si avvicinano da sinistra, i numeri per eccesso si avvicinano da destra ed, alla fine, il numero 3 sara' dove si avvicinano questi numeri e pertanto sara' individuato