Area della superficie del tronco di cono Per calcolare la superficie del tronco di cono prolunghiamone la superficie fino a ricostruire il cono VAA' e poi calcoliamone la superficie laterale come differenza fra le superfici laterali dei coni VAA' e VDD' Asl(DAA'D') = Asl(VAA') - Asl(VDD') Essendo dati a: apotema del tronco di cono, R: raggio della circonferenza di base maggiore ed r: raggio della circonferenza di base minore, chiamiamo k l'apotema del cono piccolo, quindi a+k e' l'apotema del cono VAA' Asl(VAA') = πR (a+k) Asl(VDD') = πr k quindi Asl(DAA'D') = πR (a+k) - πr k = πRa + πRk - πrk = = πRa + πk(R - r) Ora, per trovare la formula, dovremo esprimere k con i dati che abbiamo, cioe' mediante R, r ed a; per fare questo consideriamo i triangoli simili VAB e VDC essi hanno AVB = DVC^^ perche' in comune ABV = DCV^^ perche' retti Quindi, avendo due angoli congruenti, per il primo criterio di similitudine i due triangoli sono simili e posso scrivere AV : DV = AB : DC (a+k) : k = R : r applico la proprieta' dello scomporre per poter avere una sola k nell'espressione (a+k-k) : k = (R-r) : r a : k = (R-r) : r ricavo k: essendo k un medio devo fare il prodotto degli estremi fratto l'altro medio k = a r (R-r) sostituisco questo valore nella formula della superficie laterale ed ottengo Asl(DAA'D') = π Ra + π(R - r)· a r (R-r) = π Ra + π ar = π a(R + r) Tronco di cono Area della superficie laterale = πa(R + r) Da notare che, se sostituiamo le circonferenze con i perimetri abbiamo che la formula e' la stessa che valeva per il tronco di piramide: infatti alla stessa formula potevamo arrivare considerando un tronco di piramide regolare ed aumentandone il numero dei lati: man mano che i lati aumentano la misura del perimetro di base si avvicina alla misura della lunghezza della circonferenza Per avere la superficie totale bastera' aggiungere le due aree di base Tronco di cono Area della superficie totale = πa(R + r) + πR2 + πr2 = π [R2 + a(R + r) + r2 ]